第3章第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 1．函数的奇偶性 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 [注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [注意]　不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 考点一　函数的奇偶性 角度一　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 【解】　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)， 从而函数f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x). 故该函数为奇函数． [针对训练] 1．(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝x2－cos x B．f(x)＝3x－ C．f(x)＝x2＋tan x D．f(x)＝x·ln (－x) 【答案】　AD 【名师点评】 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 ①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇； ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． [提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数． 角度二　函数奇偶性的应用 (1)设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 (2)(2022·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 (3)(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________． 【解析】　(1)因为f(x)＝， 则f(－x)＝＝－f(x). 所以f(x)是奇函数． 因为f(|－x|)＝f(|x|)， 所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数． (2)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2. (3)法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x. 又因为函数f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋， 所以当x<0时，函数f(x)的最大值为. 法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－， 因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为. 【答案】　(1)D　(2)C　(3) 【名师点评】 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，