第3章第2节 函数的单调性与最值-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

解得a＝，则f＝f(4)＝8， 当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解． 【答案】　8 【名师点评】 (1)分段函数的求值问题的解题思路： ①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值； ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路： 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． 第二节　 1．增函数、减函数 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 增函数与减函数形式的等价变形 (1)∀x1，x2∈D且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在D上单调递增； (2)∀x1，x2∈D且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在D上单调递减．　 2．单调性、单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥m； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m 结论 M为最大值 m为最小值 【知识拓展】 1．单调性定义的等价形式 设任意的x1，x2∈[a，b]，x1≠x2. (1)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数． (2)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a，b]上是减函数． 2．复合函数的单调性 函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 3．函数单调性的常用结论 (1)若f(x)、g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)与y＝－f(x)，y＝在公共定义域内的单调性相反． 考点一　函数的单调性(区间) 角度一　确定不含参函数的单调性(区间) (1)(2022·湖北荆州高三期末)设max{a，b}＝，则函数f(x)＝max{x2－x，1－x2}的单调递增区间为(　　) A.[－1，0]，　　　 B．(－∞，1]， C.，[0，1] D．，[1，＋∞) (2)(2022·黑龙江大庆高三模拟)函数f(x)＝的单调增区间是(　　) A.(－∞，－3) B．[2，＋∞) C.[0，2) D．[－3，2] 【解析】　(1)由x2－x＝1－x2得2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－， 当x≥1或x≤－时，f(x)＝max{x2－x，1－x2}＝x2－x，此时函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)；当－<x<1时，f(x)＝max{x2－x，1－x2}＝1－x2，此时函数f(x)的单调递增区间为.综上所述，函数f(x)的单调递增区间为，[1，＋∞). (2)要使函数有意义，则x2＋x－6≥0，解得x≥2或x≤－3，易知y＝x2＋x－6在区间(－∞，－3]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增，y＝在定义域内单调递增，结合复合函数的单调性可得函数f(x)＝的单调增区间是[2，＋∞). 【答案】　(1)D　(2)B 角度二　确定含参函数的单调性(区间) (1)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． (2)已知f(x)＝(a∈R，x≠a). ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增； ②若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 【解析】　(1)f(x)＝a·＝a. 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝， 因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)>f(x