第2章第2节 二次函数与一元二次方程、不等式-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

平面图如图所示，水池的深度为1 m．如果水池四周墙的建造费用为400元/m2，中间两道隔墙的建造费用为248元/m2，池底建造费用为80元/m2，水池的所有墙的厚度忽略不计．则最低总造价为________． 【解析】　设污水处理池的宽为x(x>0)m，则长为 m， 则总造价y＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12 960＝1 296＋12 960≥1 296×2＋12 960＝38 880. 当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时，等号成立． 故当长为16.2 m，宽为10 m时，总造价最低，为38 880元． 【答案】　38 880元 【名师点评】 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 第二节　二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax2＋bx ＋c＝0(a>0) 的根 有两个相异实 根x1，x2(x1 <x2) 有两个相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有实 数根 ax2＋bx＋c >0(a>0) 的解集 {x|x>x2 或x<x1} R ax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【知识拓展】 1．倒数性质的四个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0，0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．简单分式不等式 (1)≥0(≤0)⇔ (2)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). 3．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时，不要忘记讨论当a＝0时的情形． 4．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象确定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 考点一　一元二次不等式的解法 (1)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集为________． (2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________． (3)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R). 【解】　(1)由题意或 解得x>1.故填{x|x>1}． (2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0， 所以解得 故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2.故填{x|x≥3或x≤2}． (3)因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. ①当a>0时，－<， 解集为； ②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}； ③当a<0时，－>，解集为. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为. [针对训练] 1．不等式0<x2－x－2≤4的解集为________． 【解析】　原不等式等价于 即 即 解得 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 【答案】　[－2，－1)∪(2，3] 2．不等式≥－1的解集为________． 【解析】　将原不等式移项通分得≥0， 等价于 解得x>5或x≤. 所以原不等式的解集为. 【答案】　∪(5，＋∞) 3．解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0). 【解】　因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0. ①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解； ②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1； ③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<. 综上所述，当0<a<1时，解集为； 当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为 . (1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤 ①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； ②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．　 考