第1章第1节 集合-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第一节　集合 1．元素与集合 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R [注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 所有属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x|∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 (1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，(A∪B)⊇A，(A∪B)⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. (4)补集的性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A. (5)子集的个数：含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B. (7)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 考点一　集合的基本概念 设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【解析】　依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素． 【答案】　C 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 【答案】　C [针对训练] 1．(多选)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的可能取值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．2 【解析】　选AC.因为5∈M，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，解得：m＝3，或m＝1，m＝－1， 当m＝3时，M＝{1，5，13}，符合题意， 当m＝1时，M＝{1，3.5)，符合题意， 当m＝－1时，M＝{1，1，5}，不满足元素互异性，不成立． 所以m＝3或m＝1. 【名师点评】 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合时，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的三个性质中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 考点二　集合间的基本关系 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________． 【解析】　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}． (2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A. 当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}， 当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图， 所以，所以0<m≤1. 综上所述，m的取值范围为(－∞，1]. 【答案】　(1)D　(2)(－∞，1] [针对训练] 2．(1)集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　　) A．M∩N＝∅ B．M＝N C．M⊆N D．N⊆M (2)(多选)(2022·三亚模拟)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}．设A＝{，}，B