第8章第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

＝. 【答案】　 备课笔记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 提醒　三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个．所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系： (2)异面直线所成的角： (ⅰ)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或真角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (ⅱ)范围：． (3)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． 提醒　直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 【知识拓展】 1．基本事实1的三个推论： 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．唯一性定理： (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 考点一　平面的基本性质 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面． 【证明】　 如图所示，连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB和AA1的中点， 所以EF∥A1B且EF＝A1B. 又因为A1D1綊BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所以EF与CD1确定一个平面α， 所以E，F，C，D1∈α， 即E，C，D1，F四点共面． 【名师点评】 1．证明点或线共面问题的2种方法 (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后证其余的线(或点)在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2．证明点共线问题的2种方法 (1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [针对训练] 1．(2022·预测)(多选)用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是(　　) A．直角三角形　　　 B．正五边形 C．正六边形 D．梯形 解析：选CD.画出截面图形如图： 可以画出三角形但不是直角三角形，故A错误；如图1经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故B错误；正方体有六个面，如图2用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故C正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故D正确． 2. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD. 在△BCD中，＝＝，所以GH∥BD，所以EF∥GH. 所以E，F，G，H四点共面． (2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 所以P为平面ABC与平面ADC的公共点． 又平面AB