第六章 圆（精讲册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·福建数学 第六章　圆 命题点１　圆的基本概念与性质 （必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 中 考 要 求 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念． 　　要点归纳 １．圆的有关概念与性质 定义 平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆．其中定点称为 　圆心　，　定长　称为半径，以点Ｏ为圆心的圆记作　⊙Ｏ　 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦．如图，线段ＡＢ，ＡＣ是⊙Ｏ的弦 经过　圆心　的弦叫作圆的直径．如图，线段ＡＢ是⊙Ｏ的直径 弧 圆上任 意两点 之间的 部分叫 作弧 大于半圆的弧叫作　优弧　，如图， ) ＡＢＣ 小于半圆的弧叫作　劣弧　，如图， ) ＡＣ 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫作等弧 圆心角 顶点在　圆心　的角叫作圆心角，如图，∠ＢＯＣ为⊙Ｏ的圆心角 圆周角 顶点在　圆上　，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图，∠ＢＡＣ为⊙Ｏ的圆周角 圆的 对称性 圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴 圆是中心对称图形，　圆心　是它的对称中心 圆的旋 转不变性 圆围绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 【易错警示】（１）圆上任意一条弦对应两段弧； （２）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，一个圆有无数条直径和半径； （３）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （４）等弧只存在于同圆或等圆中，指的是能够完全重合的弧． ２．弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，即若∠ＡＯＢ＝ ∠ＣＯＤ，则 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ 推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角　相等　，所对的弦　相等　，即若 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ， 则∠ＡＯＢ＝　∠ＣＯＤ　，ＡＢ＝　ＣＤ　 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角　相等　，所对的弧　相等　，即若 ＡＢ＝ ＣＤ，则∠ＡＯＢ＝　∠ＣＯＤ　， ) ＡＢ＝ ) ＣＤ ９９ 101 一战成名·福建数学 　　课堂小练 １．如图，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的两条弦． 第１题图 （１）若ＡＢ＝ＣＤ，则　　　　　　　　，　　　　　　　； （２）若 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，则　ＡＢ＝ＣＤ　，　∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ　； （３）若∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，则　　　　　　，　　　　　　； （４）若ＡＢ＝ＣＤ，ＯＥ⊥ＡＢ，ＯＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，那么　ＯＥ＝ＯＦ　（填 ＯＥ与 ＯＦ的 数量关系）． ２．（北师九下Ｐ７３数学理解改编）如图，ＡＢ，ＣＤ为⊙Ｏ内两条相交的弦，交点为Ｅ，且ＡＢ＝ＣＤ，求证：ＡＤ∥ＢＣ． 第２题图 证明：∵ＡＢ＝ＣＤ，∴ ) ＡＤＢ＝ ) ＣＡＤ， ∴ ) ＡＤＢ－ ) ＡＤ＝ ) ＣＡＤ－ ) ＡＤ， 即 ) ＡＣ＝ ) ＢＤ， ∴∠Ｂ＝∠Ａ，∴ＡＤ∥ＢＣ． ３．如图，在⊙Ｏ中， ) ＡＣ＝ ) ＣＢ，ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，ＣＥ⊥ＯＢ于点Ｅ，求证：ＡＤ＝ＢＥ． 第３题图 证明：如解图，连接ＯＣ，∵ ) ＡＣ＝ ) ＣＢ，∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ． ∵ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，ＣＥ⊥ＯＢ于点Ｅ，∴∠ＣＤＯ＝∠ＣＥＯ＝９０°． 在△ＣＯＤ和△ＣＯＥ中， ∠ＤＯＣ＝∠ＥＯＣ， ∠ＣＤＯ＝∠ＣＥＯ＝９０°， ＣＯ＝ＣＯ{ ， ∴△ＣＯＤ≌△ＣＯＥ，∴ＯＤ＝ＯＥ． ∵ＡＯ＝ＢＯ，∴ＡＯ－ＯＤ＝ＯＢ－ＯＥ，即ＡＤ＝ＢＥ． ４．（变式训练）如图，在⊙Ｏ中，ＡＭ＝ＢＮ，ＣＭ⊥ＡＯ于点Ｍ，ＤＮ⊥ＯＢ于点Ｎ，求证： ) ＡＣ＝ ) ＢＤ． 第４题图 证明：如解图，连接ＯＣ，ＯＤ，则ＯＣ＝ＯＤ． ∵ＡＭ＝ＢＮ，ＯＡ＝ＯＢ， ∴ＯＡ－ＡＭ＝ＯＢ－ＢＮ，∴ＯＭ＝ＯＮ． ∵ＣＭ⊥ＯＡ，ＤＮ⊥ＯＢ，∴∠ＯＭＣ＝∠ＯＮＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＯＭＣ和Ｒｔ△ＯＮＤ中， ＯＭ＝ＯＮ， ＯＣ＝ＯＤ{ ， ∴Ｒｔ△ＯＭＣ≌Ｒｔ△ＯＮＤ（ＨＬ）， ∴∠ＭＯＣ＝∠ＮＯＤ，∴ ) ＡＣ＝ ) ＢＤ． ００１ 102 一战成名·福建数学 命题点２　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 垂径定理及其推论 中 考 要 求 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 　　要点归纳 １．垂径定理：垂直于弦的直径　平分　弦，并且　平分　这条弦所对的两条弧． ２．垂径定理推论： （１）平分弦（不是直径）的直径　垂直于　弦，并且平分弦所对的两条弧； （２）圆的两条平行弦所夹的弧　相等　． ３．根据圆的对称性，有以下