专题四 二次函数综合题（精练册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习

专题四　二次函数综合题 （２０２１．２５，２０２０．２５；２０１９．２５，２０１８．２５，２０１７．２５） 例：已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），与ｘ轴只有一个公共点． （１）已知公共点Ａ（－３，０）且经过（－２，１４）． ①求抛物线的函数解析式； 【思维点拨】 要求抛物线的函数解 析式 由题意可知抛物线的 顶点为Ａ（－３，０） 由顶点式可设抛物线的函 数解析式为ｙ＝ａ（ｘ＋３）２ 将（－２，１４）代入求得 ａ＝１４，由此可得结果 自主解答： 解：∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），与ｘ轴只有一个公共点Ａ（－３，０）， ∴Ａ（－３，０）是抛物线顶点， 设抛物线的函数解析式为ｙ＝ａ（ｘ＋３）２，将（－２，１４）代入得 １ ４＝ａ（－２＋３） ２，解得ａ＝１４， ∴抛物线的函数解析式为ｙ＝１４（ｘ＋３） ２＝１４ｘ ２＋３２ｘ＋ ９ ４； ②直线ｌ１：ｙ＝ ３ ４ｘ＋ｍ与抛物线ｙ＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ相交于点Ｂ，Ｃ两点（Ｂ点在Ｃ点的左侧），与对称轴相交于点Ｐ， 且Ｂ，Ｃ分布在对称轴的两侧，若Ｂ点与抛物线对称轴的距离为ｎ，且ＣＰ＝ｔＢＰ（２≤ｔ≤３）．求ｎ与ｔ的数量关系； 【思维点拨】 要求 ｎ与 ｔ的 数量关系 由①可得对称轴为直线 ｘ＝ －３，分别过 Ｂ、Ｃ作对称轴 的垂线，垂足分别为Ｄ、Ｅ．设 Ｂ（ｘ１，ｙ１）、Ｃ（ｘ２，ｙ２），易得 ｘ１ ＋ｘ２＝－３ 由题意得 ＢＤ＝ｎ，故 ｘ１ ＝ －３－ｎ，由 ＣＰ∶ＢＰ＝ＣＥ∶ＢＤ ＝ｔ得ＣＥ＝ｔＢＤ＝ｔｎ＝ｘ２＋３， 即ｘ２＝ｔｎ－３ 故ｘ１＋ｘ２＝－３－ｎ＋ ｔｎ－３＝－３，由此可得 结果 自主解答： 解：抛物线ｙ＝１４（ｘ＋３） ２＝１４ｘ ２＋３２ｘ＋ ９ ４的对称轴为直线 ｘ＝－３，过 Ｂ作对称轴 ｘ＝－３的垂线，垂足为 Ｄ， 过Ｃ作对称轴ｘ＝－３的垂线，垂足为Ｅ，如解图①， 设Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝３４ｘ＋ｍ， ｙ＝１４ｘ ２＋３２ｘ＋ ９ ４ { ．得ｘ２＋３ｘ＋９－４ｍ＝０， 则ｘ１，ｘ２是ｘ ２＋３ｘ＋９－４ｍ＝０的两个实数根， ∴ｘ１＋ｘ２＝－３，ｘ１·ｘ２＝９－４ｍ， ∵Ｂ点与抛物线对称轴的距离为ｎ，即ＢＤ＝ｎ， ∴ｘ１＝－３－ｎ， ∵ＢＤ⊥直线ｘ＝－３，ＣＥ⊥直线ｘ＝－３， ∴ＣＰ∶ＢＰ＝ＣＥ∶ＢＤ， ∵ＣＰ＝ｔＢＰ（２≤ｔ≤３）， ∴ＣＥ＝ｔＢＤ＝ｔｎ，∴ｘ２－（－３）＝ｔｎ，即ｘ２＝ｔｎ－３，∴ｔ＝ ｎ＋３ ｎ ； ３６１ ③求线段ＢＣ的最大值，以及当ＢＣ取得最大值时对应的ｎ值； 【思维点拨】 要求 ＢＣ的最大值及 此时ｎ的值 由平面直角坐标中两 点间距离公式易得 ＢＣ ＝５４（ｘ２－ｘ１），由①可 得ｘ１＝－３－ｎ，ｘ２＝ｔｎ －３，故 ｘ２－ｘ１＝ｔｎ－３ －（－３－ｎ）＝ｔｎ＋ｎ 代入得 ＢＣ＝５４（ｔｎ＋ｎ）＝ ５ ２ｎ＋ １５ ４，由２≤ｔ≤３易得 ３ ２≤ｎ≤３ 故当ｎ＝３时，ＢＣ取得 最大值，由此可得结果 自主解答： 解：由①知－３－ｘ１＝ｎ，ｘ２＋３＝ｔｎ， ∴ｘ２－ｘ１＝ｔｎ＋ｎ， 而ＢＣ＝ （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２＝ （ｘ２－ｘ１） ２＋［（３４ｘ２＋ｍ）－（ ３ ４ｘ１＋ｍ）］槡 ２＝５４（ｘ２－ｘ１）＝ ５ ４（ｔｎ＋ｎ）， 又ｔ＝ｎ＋３ｎ ，２≤ｔ≤３， ∴２≤ｎ＋３ｎ ≤３，∴ ３ ２≤ｎ≤３， ∴ＢＣ＝５４（ ｎ＋３ ｎ ·ｎ＋ｎ）＝ ５ ２ｎ＋ １５ ４， ∵５２＞０，∴ｎ＝３时，ＢＣ最大为 ４５ ４． （２）若该抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，将该抛物线向上平移２个单位长度所得新抛物线经过点（３，６），且当ｐ≤ ｘ≤ｑ，ｐ＝ｑ时，新抛物线对应的函数有最小值２ｐ，最大值２ｑ，求ｐ－ｑ的值． 【思维点拨】 要求 ｐ－ｑ的值，即先 求出 ｐ≤ｘ≤ｑ时新抛 物线的最小、最大值 由题易得抛物线顶点为 （１，０），则抛物线的解析式 为ｙ＝ａ（ｘ－１）２，由新抛物 线ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋２过（３， ６）易 得 ａ＝１，故 ｙ＝ （ｘ－１）２＋２ 当ｐ、ｑ在对称轴同侧时，易 得ｐ＝ｑ（不合题意）；当ｐ、ｑ 在对称轴两边时，ｙｍｉｎ＝２ｐ ＝２，ｙｍａｘ＝（ｑ－１） ２＋２＝ ２ｑ，易得ｐ－ｑ＝－２ 综上，ｐ－ｑ＝－２． 由此可得结果 自主解答： 解：∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为直线ｘ＝１，且抛物线与ｘ轴只有一个公共点，∴ｙ＝ａ（ｘ－１）２， ∵经过点（３，６），∴６＝４ａ＋２，解得ａ＝１，∴新抛物线为ｙ＝（ｘ－１）２＋２， ∴当ｘ＝１时，抛物线有最小值为２，∴ｐ＞０，ｑ＞０， ①当ｑ＜１，当ｘ＝ｑ时取得最小值２ｐ＝（ｑ－１）２＋２，最大值２ｑ＝（ｐ－１）２＋２， 解得ｐ２＝ｑ２，∴ｐ＝ｑ（不合题意，舍去）； ②当ｐ≤１＜ｑ时，此时２ｐ＝２， ∴ｐ＝１，∴１≤ｘ≤ｑ， ∵对称轴为直线