专题三 几何图形变换探究（精练册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习

专题三　几何图形变换探究 （２０２１．２１，２０２０．２４，２０１９．２１，２０１８．２１，２０１７．２４） 例题图① 例：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是边ＢＣ上一动点，连接ＡＤ，将ＡＤ绕点Ａ逆时针旋转至ＡＥ的 位置，使得∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝１８０°． （１）如图①，当∠ＢＡＣ＝９０°时，连接 ＥＣ，连接 ＢＥ交 ＡＣ于点 Ｆ．若 ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＢＤ ＝２． ①求证：∠ＢＣＥ＝９０°； 【思维点拨】 要证明∠ＢＣＥ＝９０°， 即∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝９０° 由∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°， ＡＢ＝ＡＣ，易得∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ ＝４５° 由旋转可得 ＡＤ＝ＡＥ， 又∵ＡＢ＝ＡＣ，故由 ＳＡＳ 易证△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ， 则∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＝４５° 故∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＢ＋ ∠ＡＣＥ＝９０°，由此可 证 自主解答： 证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４５°， ∵∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ＝１８０°，∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， 由旋转知，ＡＤ＝ＡＥ，△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ＝４５°，∴∠ＢＣＥ＝９０°； 　②求ＡＦ的长； 【思维点拨】 要求ＡＦ 的长 过点Ｆ作ＦＱ⊥ＢＣ，由角平分线 性质可得 ＡＦ＝ＦＱ，由∠ＡＣＢ＝ ４５°可得ＡＦ＝ＦＱ＝槡２２ＣＦ 由 ∠ＣＢＦ ＋∠ＢＥＣ ＝９０°＝ ∠ＡＢＦ＋∠ＢＥＣ ＝∠ＡＢＦ ＋ ∠ＡＦＢ，可得∠ＢＥＣ＝∠ＡＦＢ＝ ∠ＥＦＣ，故ＣＦ＝ＣＥ＝ＢＤ＝２ 故 ＡＦ＝ＦＱ＝槡２２ＣＦ＝ 槡２，由此可得结果 自主解答： 解：如解图①，过点Ｆ作ＦＱ⊥ＢＣ于点Ｑ， ∵∠ＡＣＢ＝４５°，∴ＦＱ＝槡２２ＣＦ， 由①知：ＢＤ＝ＣＥ＝２，∠ＢＣＥ＝９０°，则∠ＣＢＦ＋∠ＢＥＣ＝９０°， ∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＦ＝∠ＣＢＦ，∴∠ＡＢＦ＋∠ＢＥＣ＝９０°， ∵∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＡＢＦ＋∠ＡＦＢ＝９０°，∴∠ＡＦＢ＝∠ＢＥＣ， ∵∠ＡＦＢ＝∠ＣＦＥ，∴∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＥ，∴ＣＦ＝ＣＥ＝２， ∴ＡＦ＝ＦＱ＝槡２２ＣＦ＝槡２； （２）如图②，连接ＢＥ，取ＢＥ的中点Ｇ，连接ＡＧ．猜想ＡＧ与ＣＤ存在的数量关系，并证明你的猜想． 例题图② 【思维点拨】 要求ＡＧ与ＣＤ 的数量关系 延长 ＢＡ至点 Ｍ，使 ＡＭ＝ ＡＢ，连接 ＥＭ．易得 ＡＧ是 △ＢＭＥ的中位线，即 ＡＧ＝ １ ２ＥＭ 由∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ＝１８０° ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＭ可得 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＭ，由 ＳＡＳ 易证△ＡＤＣ≌△ＡＥＭ，则 ＥＭ＝ＤＣ 故 ＡＧ＝１２ＥＭ＝ １ ２ＣＤ， 由此可得结果 自主解答： 解：ＡＧ＝１２ＣＤ， 理由：如解图②，延长ＢＡ至点Ｍ，使ＡＭ＝ＡＢ，连接ＥＭ， ∵Ｇ是ＢＥ的中点，∴ＡＧ＝１２ＭＥ， ∵∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＭ＝１８０°，∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＭ， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＭ， ∵ＡＢ＝ＡＭ，ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＣ＝ＡＭ， ∵ＡＤ＝ＡＥ，∴△ＡＤＣ≌△ＡＥＭ， ∴ＣＤ＝ＥＭ，∴ＡＧ＝１２ＣＤ． ２５１ 类型１　与图形平移有关的探究 １．（２０２０宁德二检）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， 将△ＡＢＣ沿斜边 ＢＣ向右平移，得到△ＤＥＦ（ＢＥ＜ ＢＣ），ＡＣ与ＤＥ相交于点 Ｏ，连接 ＡＤ，ＡＥ，ＤＣ，得到四 边形ＡＥＣＤ． （１）当点 Ｅ为 ＢＣ的中点时，求证：四边形 ＡＥＣＤ是 菱形； （２）在△ＡＢＣ平移过程中，判断四边形 ＡＥＣＤ的面积 是否发生变化，请说明理由． 第１题图 （１）证明：由平移的性质可知，ＡＤ＝ＢＥ，ＡＤ∥ＢＥ． ∵∠ＢＡＣ＝９０°，点Ｅ为ＢＣ的中点， ∴ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥ，∴ＡＤ＝ＣＥ， ∵ＡＤ∥ＣＥ， ∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形， ∵ＡＥ＝ＣＥ，∴四边形ＡＥＣＤ是菱形； （２）解：四边形ＡＥＣＤ的面积不发生变化． 理由如下： 在平移过程中，ＤＥ∥ＡＢ，ＤＥ＝ＡＢ， ∵ＡＢ⊥ＡＣ，∴ＤＥ⊥ＡＣ， ∴Ｓ四边形ＡＥＣＤ＝Ｓ△ＡＣＥ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝１２ＡＣ·ＯＥ＋ １ ２ＡＣ·ＯＤ ＝１２ＡＣ·（ＯＥ＋ＯＤ） ＝１２ＡＣ·ＤＥ ＝１２ＡＣ·ＡＢ， ∵ＡＣ，ＡＢ是定值， ∴四边形ＡＥＣＤ的面积不发生变化． ２．已知△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，将△ＡＢＣ 沿射线 ＡＣ向下平移得△Ａ′Ｂ′Ｃ′，边 Ａ′Ｂ′交 ＢＣ于 Ｄ点． （１）在平移过程中，Ａ′Ｂ′的长度为　１０　； （２）若连接 ＢＢ′，判断四边形 ＢＣＣ′Ｂ′的形状，并说 明理由； （３）若四边形ＢＣＣ′Ｂ′为正方形，求平移的距离． 第２题图 解：（１）１０； 【解法提示】∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６， ∴ＡＢ＝ ６２＋８槡 ２＝１０， ∵△ＡＢＣ沿射线ＡＣ向下平移得△Ａ′Ｂ′Ｃ′， ∴Ａ′Ｂ′＝ＡＢ＝１０． （２）四边