专题二 圆的综合题（精练册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习

专题二　圆的综合题 （２０２０．２１，２０１９．２４，２０１８．２４Ｂ，２０１７．２１） 例１题图 类型１　与圆的基本性质有关的证明与计算 例１　如图，已知 Ｒｔ△ＡＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，斜边 ＡＣ交⊙Ｏ于点 Ｅ，ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，ＥＤ⊥ＡＤ于点Ｄ，ＤＥ的延长线与ＢＣ交于点Ｆ． （１）求证：ＣＦ＝ＥＦ； 【思维点拨】 要证明ＣＦ＝ＥＦ， 即证∠Ｃ＝∠ＣＥＦ 由题易得∠Ｃ＋ ∠ＢＡＣ ＝∠ＤＡＣ ＋∠ＤＥＡ＝９０° 由 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ 得∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ， 即∠Ｃ＝∠ＤＥＡ＝ ∠ＣＥＦ 故 ＣＦ＝ＥＦ， 由此即证 自主解答： 证明：∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝９０°， ∵ＥＤ⊥ＡＤ，∴∠ＤＡＣ＋∠ＤＥＡ＝９０°， ∵ＡＣ平分∠ＤＡＢ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ， ∴∠Ｃ＝∠ＤＥＡ， ∵∠ＤＥＡ＝∠ＣＥＦ，∴∠Ｃ＝∠ＣＥＦ， ∴ＣＦ＝ＥＦ； （２）若ＡＤ∶ＡＢ＝２∶３，ＤＥ＝４，求ＣＥ的长． 【思维点拨】 要求ＣＥ 的长 易证△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，由 ＡＤ∶ＡＢ ＝２∶３，ＤＥ＝４可得 ＢＣ＝６，ＡＥ ＝２３ＡＣ，即ＣＥ＝ １ ３ＡＣ 由圆周角定理得∠ＡＥＢ ＝∠ＢＥＣ＝９０°＝∠ＡＢＣ， 易证△ＢＥＣ∽△ＡＢＣ 则 ＢＣ２＝ＡＣ·ＣＥ，即 ６２＝３ＣＥ２．由此可得结 果 自主解答： 解：连接ＢＥ，如解图， 由（１）得∠Ｃ＝∠ＤＥＡ， ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＝９０°， ∴△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，∴ＡＤＡＢ＝ ＤＥ ＢＣ＝ ＡＥ ＡＣ， ∵ＡＤ∶ＡＢ＝２∶３，ＤＥ＝４， ∴２３＝ ４ ＢＣ＝ ＡＥ ＡＣ，解得ＢＣ＝６，ＡＥ＝ ２ ３ＡＣ， ∴ＣＥ＝１３ＡＣ， ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ＝９０°＝∠ＡＢＣ， ∵∠Ｃ＝∠Ｃ，∴△ＢＥＣ∽△ＡＢＣ， ∴ＢＣＡＣ＝ ＣＥ ＢＣ，即ＢＣ ２＝ＡＣ·ＣＥ， ∴６２＝３ＣＥ２，解得ＣＥ＝２槡３． ２４１ 针 对 训 练 １．（２０２１湖州）如图，已知 ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＣＤ是 ) ＡＤ所对的圆周角，∠ＡＣＤ＝３０°． （１）求∠ＤＡＢ的度数； （２）过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，ＤＥ的延长线交⊙Ｏ 于点Ｆ．若ＡＢ＝４，求ＤＦ的长． 第１题图 解：（１）如解图，连接ＢＤ， ∵∠ＡＣＤ＝３０°， ∴∠Ｂ＝∠ＡＣＤ＝３０°， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°， ∴∠ＤＡＢ＝９０°－∠Ｂ＝６０°； （２）∵∠ＡＤＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝４， ∴ＡＤ＝１２ＡＢ＝２， ∵∠ＤＡＢ＝６０°，ＤＥ⊥ＡＢ，且ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴ＥＦ＝ＤＥ＝ＡＤ·ｓｉｎ６０°＝　槡３， ∴ＤＦ＝２ＤＥ＝２　槡３． ２．如图，已知 ＢＣ是⊙Ｏ的直径，弦 ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｈ，与 弦ＢＦ交于点Ｅ，ＡＤ＝８，ＢＨ＝２． （１）求⊙Ｏ的半径； （２）若∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡ，求证：ＢＦ＝２ＡＨ． 第２题图 （１）解：连接ＯＡ交ＢＦ于Ｇ，如解图，设⊙Ｏ的半径为 ｒ， ∵ＡＤ⊥ＯＢ， ∴ＡＨ＝ＤＨ＝１２ＡＤ＝４， 在Ｒｔ△ＯＨＡ中，ＯＨ＝ｒ－２，ＯＡ＝ｒ， ∴ｒ２＝４２＋（ｒ－２）２，解得ｒ＝５， 即⊙Ｏ的半径为５； （２）证明：连接ＣＦ，如解图， ∵ＡＤ⊥ＯＢ， ∴ ) ＡＢ＝ ) ＤＢ， ∵∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡ， ∴ ) ＢＤ＝ ) ＡＦ， ∴ ) ＡＢ＝ ) ＡＦ， ∴ＯＡ⊥ＢＦ，ＢＧ＝ＦＧ， ∴∠ＯＨＡ＝∠ＯＧＢ＝９０°． ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ． ∵∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡ， ∴∠ＯＡＨ＝∠ＯＢＧ， 在△ＯＡＨ和△ＯＢＧ中， ∠ＯＡＨ＝∠ＯＢＧ， ∠ＯＨＡ＝∠ＯＧＢ， ＯＡ＝ＯＢ{ ， ∴△ＯＡＨ≌△ＯＢＧ， ∴ＡＨ＝ＢＧ， ∴ＢＦ＝２ＢＧ＝２                                                                        ＡＨ． ３４１ 类型２　与圆的切线有关的证明与计算 例２　（２０２０龙岩期末）如图，⊙Ｏ的半径为２，直线ＣＤ经过圆心Ｏ，交⊙Ｏ于Ｃ，Ｄ两点，直径ＡＢ⊥ＣＤ，点 Ｍ是直线 ＣＤ上异于点Ｃ，Ｏ，Ｄ的一个动点，ＡＭ所在的直线交⊙Ｏ于点Ｎ，点Ｐ是直线ＣＤ上另一点，且ＰＭ＝ＰＮ． 例２题图① （１）当点Ｍ在⊙Ｏ内部时，如图①，判断ＰＮ与⊙Ｏ的关系，并证明； 【思维点拨】 要判断ＰＮ 与 ⊙Ｏ的 关系 连 接 ＯＮ，则 ∠ＰＮＯ＝∠ＰＮＭ ＋∠ＯＮＡ 由题知 ＰＭ＝ＰＮ，ＯＡ＝ ＯＮ，则∠ＰＮＭ＝∠ＰＭＮ， ∠ＯＮＡ＝∠ＯＡＮ．又 ＡＢ ⊥ ＣＤ，故 ∠ＰＮＯ ＝ ∠ＡＭＯ＋∠ＯＡＮ＝９０° 由切线的判 定定理得ＰＮ 与⊙Ｏ相切 自主解答： 解：ＰＮ与⊙Ｏ相切， 证明：如