第19期 椭圆及其性质-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 一、单项选择题　１～４　ＡＢＣＡ　５～８　ＢＢＢＡ 二、多项选择题　９．ＡＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＣＤ；　１２．ＢＣ． 三、填空题　１３．槡２；　１４．（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２ ＝１０； １５．４；　１６ [． ０，槡３)３ ． 四、解答题 １７．解：（１）设⊙Ｍ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０， 则有 １＋Ｄ＋Ｆ＝０， １７＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０， １３＋３Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＝０ { ， 解得 Ｄ＝－２， Ｅ＝－４， Ｆ＝１ { ， 所以⊙Ｍ的方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋１＝０． （２）由（１）知⊙Ｍ的标准方程为（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝４． 当直线ｌ的斜率不存在时，ｌ的方程为ｘ＝０，显然不满足题意； 当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋４， 由直线ｌ与⊙Ｍ相切，可得圆心（１，２）到直线ｌ的距离等于２， 即 ｜ｋ＋２｜ ｋ２＋槡 １ ＝２，解得ｋ＝０或ｋ＝ ４３， 所以直线ｌ的方程为ｙ＝４或４ｘ－３ｙ＋１２＝０． １８．解：（１）根据题意设圆心 (Ｃ ｔ，２ｔ＋８)７ ， 则｜ＡＣ｜＝｜ＢＣ｜＝ｒ， 即 （ｔ－６）２＋（２ｔ＋８） ２ 槡 ４９ ＝ （ｔ－１） ２ (＋ ２ｔ＋８７ － )５槡 ２ ， 解得ｔ＝３，即圆心Ｃ（３，２），ｒ＝槡１３， 所以圆Ｃ的标准方程为（ｘ－３）２＋（ｙ－２）２ ＝１３． （２）因为Ｑ为弦ＭＮ的中点，所以ＣＱ⊥ＭＮ，即ＣＱ⊥ＰＱ． 设Ｑ（ｘ，ｙ），则→  ＣＱ＝（ｘ－３，ｙ－２），→  ＰＱ＝（ｘ，ｙ－１）， 所以→  ＣＱ·→  ＰＱ＝ｘ（ｘ－３）＋（ｙ－１）（ｙ－２） ＝ｘ２＋ｙ２－３ｘ－３ｙ＋２＝０， 即点Ｑ的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２－３ｘ－３ｙ＋２＝０． １９．解：（１）设圆Ｍ的方程为（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝ｒ２（ａ≥０）， 则圆心Ｍ到直线ｘ＋ｙ－２＝０的距离为｜ａ－２｜ 槡２ ． 由题意得 ａ２＋４＝ｒ２， ｜ａ－２｜ 槡 ( )２ ２ ＋２＝ｒ２{ ，解得 ａ＝０，ｒ２ ＝４{ ， 所以所求圆Ｍ的方程为ｘ２＋ｙ２ ＝４． （２）由题意可知，直线ｌ的斜率存在，设直线ｌ的方程为ｙ＝ ｋｘ＋１，则圆心Ｍ到直线ｌ的距离为 １ ｋ２＋槡 １ ， 所以｜ＡＢ｜＝２ ４－ １ ｋ２＋槡 １， 又点Ｐ（０，－２）到直线ｌ的距离ｄ＝ ３ ｋ２＋槡 １ ， 所以Ｓ△ＰＡＢ ＝ １ ２｜ＡＢ｜·ｄ＝３ ４－ １ ｋ２＋( )１ １ ｋ２＋槡 １ ＝３ ４－ ２－ １ ｋ２＋( )１槡 ２ ， 因为ｋ２≥０，所以当ｋ＝０时，Ｓ△ＰＡＢ取最大值为 槡３３， 此时所求直线ｌ的方程为ｙ－１＝０． ２０．解：（１）ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋３＝０可化为 （ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２ ＝２， 当直线ｌ的斜率不存在时，其方程为ｘ＝－２， 易求直线ｌ与圆Ｃ的交点为Ａ（－２，１），Ｂ（－２，３）， ｜ＡＢ｜＝２，符合题意； 当直线ｌ的斜率存在时，设其方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２）， 即ｋｘ－ｙ＋２ｋ＝０， 则圆心Ｃ到直线ｌ的距离ｄ＝｜－ｋ－２＋２ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ＝１， 解得ｋ＝ ３４，所以直线ｌ的方程为３ｘ－４ｙ＋６＝０， 综上，直线ｌ的方程为ｘ＝－２或３ｘ－４ｙ＋６＝０． （２）如右图，ＰＭ为圆Ｃ的切线， 连接ＭＣ，ＰＣ，则ＣＭ⊥ＰＭ， 所以△ＰＭＣ为直角三角形， 所以｜ＰＭ｜２＝｜ＰＣ｜２－｜ＭＣ｜２． 设Ｐ（ｘ，ｙ），由（１）知Ｃ（－１，２）， ｜ＭＣ｜＝槡２， 因为｜ＰＭ｜＝｜ＰＯ｜，所以（ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２－２＝ｘ２＋ｙ２， 化简得点Ｐ的轨迹方程为２ｘ－４ｙ＋３＝０． 求｜ＰＭ｜的最小值，即求｜ＰＯ｜的最小值， 也即求原点Ｏ到直线２ｘ－４ｙ＋３＝０的距离， 即ｄ＝ ｜３｜ ２２＋（－４）槡 ２ ＝ 槡３５１０，所以｜ＰＭ｜的最小值为 槡３５ １０． ２１．解：（１）由题可设圆的方程为（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝ｒ２， 则 （１－ａ）２＋７＝ｒ２， 槡７ １－ａ· ３ 槡７ ＝－１{ ，解得ａ＝４，ｒ＝４， 所以圆的方程为（ｘ－４）２＋ｙ２ ＝１６． （２）由题意知，∠ＡＯＢ＝ π２， 设直线ＯＡ的斜率为ｋ（ｋ≠０），则直线ＯＡ的方程为ｙ＝ｋｘ， 联立 ｙ＝ｋｘ， （ｘ－４）２＋ｙ２ ＝１６{ ，得（１＋ｋ２）ｘ２－８ｘ＝０， 解得 ｘ＝０， ｙ＝{ ０或 ｘ＝ ８ １＋ｋ２ ， ｙ＝ ８ｋ １＋ｋ２ { ，即Ａ ８１＋ｋ２， ８ｋ１＋ｋ( )２ ． 又直线ＯＢ的斜率为 －１ｋ，即Ｂ ８ｋ２ １＋ｋ２ ， －８ｋ １＋ｋ( )２ ． 由题可知Ｃ（８，８ｋ），Ｄ ８，－８( )ｋ ． 因此 Ｓ１ Ｓ２ ＝ＯＡ·ＯＢＯＤ·ＯＣ＝ ＯＡ ＯＣ· ＯＢ ＯＤ， 又 ＯＡ ＯＣ＝ ｘＡ ｘＣ ＝ ８ １＋ｋ２ ８ ＝ １ １＋ｋ２ ，同理 ＯＢ ＯＤ＝ ｋ２ １＋ｋ２ ， 所以 Ｓ１ Ｓ２ ＝ ｋ ２ ｋ４＋