第18期 圆与方程、直线与圆的关系-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 一、单项选择题　１～４　ＤＣＤＣ　５～８　ＢＢＡＣ 二、多项选择题　９．ＢＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＢＤ；　１２．ＡＣＤ． 三、填空题 １３．－１０；　１４．槡２５；　１５． １７ ５， １２( )５ ；　１６．ｘ＋ｙ－２＝０． 四、解答题 １７．解：（１）根据题意，联立 ４ｘ－３ｙ－５＝０， ２ｘ－ｙ－３＝０{ ，解得Ｐ（２，１）． 将Ｐ（２，１）代入直线ａｘ＋ｙ－３ａ＋１＝０中， 可得２ａ＋１－３ａ＋１＝０，解得ａ＝２． （２）设所求直线为ｌ． 当直线ｌ的斜率不存在时，ｌ的方程为ｘ＝－２． 此时点Ｐ与直线ｌ的距离为４，不合题意，舍去； 当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ的斜率为ｋ， 则ｌ的方程为ｙ－３＝ｋ（ｘ＋２），即ｋｘ－ｙ＋２ｋ＋３＝０． 点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ＝｜２ｋ－１＋２ｋ＋３｜ ｋ２＋槡 １ ＝ 槡２５， 解得ｋ＝２，即直线ｌ的方程为２ｘ－ｙ＋７＝０． １８．解：（１）由题得，对角线ＡＣ的中点坐标为（１，３）， 所以对角线ＢＤ的中点坐标也是（１，３）． 设Ｄ（ｘ，ｙ），则有ｘ－３２ ＝１， ｙ－１ ２ ＝３，解得 ｘ＝５， ｙ＝７{ ， 所以平行四边形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ的坐标为（５，７）． （２）根据题意，直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ ＝ －１－４ －３－（－１）＝ ５ ２， 则△ＡＢＣ的边ＡＢ上的高所在直线的斜率为 －２５， 于是有ｙ－２＝－２５（ｘ－３），即２ｘ＋５ｙ－１６＝０． 所以△ＡＢＣ的边ＡＢ上的高所在直线的方程为２ｘ＋５ｙ－１６＝０． １９．（１）证明：直线ｌ的方程整理得（２ｘ＋ｙ＋４）＋ｍ（ｘ－２ｙ －３）＝０， 由 ２ｘ＋ｙ＝－４， ｘ－２ｙ＝３{ ，解得 ｘ＝－１， ｙ＝－２{ ， 所以无论ｍ为何实数，直线ｌ过定点Ｍ（－１，－２）． （２）解：过定点Ｍ（－１，－２）作一条直线ｌ１，使夹在两坐标 轴之间的线段被Ｍ点平分， 则直线ｌ１过点（－２，０），（０，－４）， 设直线ｌ１的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 把两点坐标代入得 －２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝－４{ ， 解得 ｋ＝－２， ｂ＝－４{ ， 则直线ｌ１的方程为ｙ＝－２ｘ－４，即２ｘ＋ｙ＋４＝０． ２０．解：（１）因为边ＡＣ上的高ＢＥ所在的直线方程为ｘ＋ｙ－ ６＝０，所以边ＡＣ所在直线的斜率为１， 所以边ＡＣ所在的直线方程为ｙ－１＝ｘ＋１， 即ｘ－ｙ＋２＝０． 因为边ＡＢ上的中线ＣＭ所在的直线方程为４ｘ－５ｙ＋６＝０， 联立 ｘ－ｙ＋２＝０， ４ｘ－５ｙ＋６＝０{ ，解得 ｘ＝－４， ｙ＝－２{ ，所以Ｃ（－４，－２）． （２）设Ｂ（ｘ０，ｙ０），因为Ｍ为ＡＢ的中点， 所以Ｍ (的坐标为 ｘ０－１２ ，ｙ０＋１)２ ． 联立 ４× ｘ０－１ ２ －５× ｙ０＋１ ２ ＋６＝０， ｘ０＋ｙ０－６＝０ { ， 解得 ｘ０ ＝３， ｙ０ ＝３ { ， 所以Ｂ（３，３）． 所以直线ＢＣ的方程为ｙ－３＝３－（－２）３－（－４）×（ｘ－３）， 化简得５ｘ－７ｙ＋６＝０． ２１．解：（１）由题得 ｜３ｋ＋１＋１＋２ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ＝｜－３ｋ－３＋１＋２ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ， 整理得｜５ｋ＋２｜＝｜ｋ＋２｜， 即（５ｋ＋２）２ ＝（ｋ＋２）２，解得ｋ＝０或ｋ＝－２３． 当ｋ＝０时，直线ｌ的方程为ｙ＝１，符合题意； 当ｋ＝－２３时，直线ｌ的方程为２ｘ＋３ｙ＋１＝０， 此时直线ｌ与直线ＰＱ平行，符合题意． 所以直线ｌ的方程为ｙ＝１或２ｘ＋３ｙ＋１＝０． （２）由ｋｘ－ｙ＋１＋２ｋ＝０，得ｋ（ｘ＋２）＋（－ｙ＋１）＝０， 联立 ｘ＋２＝０， １－ｙ＝０{ ，解得 ｘ＝－２， ｙ＝１{ ， 则直线ｌ：ｋｘ－ｙ＋１＋２ｋ＝０过定点Ｎ（－２，１）． 由ｋｘ－ｙ＋１＋２ｋ＝０，得ｙ＝ｋｘ＋１＋２ｋ， 当直线ｌ与ＯＮ垂直时，原点Ｏ到直线ｌ的距离最大， 最大值为｜ＯＮ｜＝ （－２）２＋１槡 ２ ＝槡５， 因为ｋＯＮ ＝－ １ ２，所以ｋ＝２， 即当ｋ＝２时，原点Ｏ到直线ｌ的距离最大． （３）当ｋ＝１时，直线ｌ：ｘ－ｙ＋３＝０，设Ｍ（ｘ，ｘ＋３）， 则｜ＯＭ｜＝ ｘ２＋（ｘ＋３）槡 ２ ＝ (２ ｘ＋ )３２ ２ ＋槡 ９ ２， 所以当ｘ＝－３２时，｜ＯＭ｜ｍｉｎ＝ 槡３２ ２， 即直线ｌ上的动点Ｍ到原点Ｏ距离的最小值为 槡３２２， 此时点Ｍ (的坐标为 －３２， )３２ ． ２２．（１）解：联立 ｙ＝ｘ， ｙ＝（ｘ－２）２{ ，消去ｙ得ｘ２－５ｘ＋４＝０， 求得交点为（１，１）和（４，４）． 此时ｙ＝ｆ（ｘ－３）在区间（１，４）上的图象在直线ｙ＝ｘ的下面． 若ｆ（ｘ－３）≤ｘ恒成立，则ｍ的最大值为４． （２）解：设曲线上关于直线ｙ＝ｘ的对称点为Ａ（ｘ１，ｙ１）和 Ｂ（ｘ２，ｙ２），线段ＡＢ的中点Ｍ（ｘ０，ｙ０），直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋ｂ． 联立 ｙ＝（ｘ＋ｔ＋１）２， ｙ＝－ｘ＋ｂ{ ，