28 层级二 专题五 第二讲 圆锥曲线的方程与性质 （教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

第二讲　圆锥曲线的方程与性质 1．(2022·全国甲卷) 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． A　[A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝， 又＋＝1，则y＝，所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率为e＝＝ ＝.故选A．] 2．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷) 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2 BCD　[将点A代入抛物线方程得1＝2p， 所以抛物线方程为x2＝y， 故准线方程为y＝－，A错误； kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1， 联立可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，故B正确； 设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点， 所以，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得x2－kx＋1＝0， 所以所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1， 又|OP|＝＝，|OQ|＝＝， 所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正确； 因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|， 所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD．] 3．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|＝|AM|，则(　　) A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|>4|OF| D．∠OAM＋∠OBM<180° ACD　[对于A，易得F，由|AF|＝|AM|可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为＝， 代入抛物线可得y2＝2p·＝p2，则A，则直线AB的斜率为＝2，A正确； 对于B，由斜率为2可得直线AB的方程为x＝y＋，联立抛物线方程得y2－py－p2＝0， 设B(x1，y1)，则p＋y1＝p，则y1＝－，代入抛物线得＝2p·x1， 解得x1＝，则B， 则|OB|＝ ＝≠|OF|＝，B错误； 对于C，由抛物线定义知：|AB|＝＋＋p＝>2p＝4|OF|，C正确； 对于D，·＝·＝·＋·＝－<0，则∠AOB为钝角， 又·＝·＝－·＋·＝－<0，则∠AMB为钝角， 又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM<180°，D正确．故选ACD．] 4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ． 解析：　因为椭圆的离心率为e＝＝，所以a＝2c， 所以b2＝a2－c2＝3c2， 所以椭圆的方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，因为AF2＝a，OF2＝c，a＝2c，所以∠AF2O＝，所以△AF1F2为正三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，斜率的倒数为， 直线DE的方程为：x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得到：13y2－6cy－9c2＝0， 判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2， 所以|DE|＝ |y1－y2|＝2×＝2×6×4×＝6， 所以c＝，得a＝2c＝， 因为DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性， AD＝DF2，AE＝EF2， 所以△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13. 答案：　13 学生用书第64页 5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 解析：　(1)因为点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，所以－＝1，解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1， 易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立可得，(1－2k2)x2－4m