25 层级二 专题四 专项突破(六) 概率统计中的社会热点问题（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略，在高考中才能游刃有余． 2020年10月16日是第40个世界粮食日．与此同时，中国工程院院士袁隆平海水稻团队完成了10万亩海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地编号为YC­801的水稻亩产超过648.5千克．推广种植海水稻，能实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表： 质量指 标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100] 质量指 标等级 良好 优秀 良好 合格 废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图． (1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率； (2)若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望； (3)若每件产品的质量指标值m与利润Y(单位：元)的关系如下表(1<t<4)： 学生用书第59页 质量指 标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100] 利润Y/元 6t 8t 4t 2t －et 试分析生产该产品能否盈利．若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)． 解析：　(1)设事件A发生的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得随机抽取的1件产品为废品的概率为P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C(0.3)3＝1－0.027＝0.973. (2)由频率分布直方图可知，质量指标值不低于85的产品中， m∈[85,90)的频率为0.08×5＝0.4； m∈[90,95)的频率为0.04×5＝0.2； m∈[95,100]的频率为0.02×5＝0.1. 故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件． 从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润Y的关系如下表所示(1<t<4)： 质量指 标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100] 利润Y/元 6t 8t 4t 2t －et P 0.05 0.1 0.15 0.4 0.3 故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1<t<4)． 则y′＝2.5－0.5et(1<t<4)， 令y′＝0，得t＝ln 5. 故t∈(1，ln 5)时，y′>0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增； t∈(ln 5,4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减． 所以当t＝ln 5时，y取得最大值，为2.5×ln 5－0.5eln5≈1.5>0. 所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值1.5元． 1．本题以“粮食安全”为背景考查统计与概率、随机变量及概率分布、函数与导数等知识，意在考查数学建模、数据分析与数学运算等核心素养． 2．解题的突破口是读懂题意，提炼图表信息，盯住题眼，构建概率分布及函数模型． 即时练　十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28 nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产． (1)在试产初期，该款芯片的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检