19 层级二 专题三 专项突破(四) 立体几何中的动点、最值、范围问题（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

立体几何中的动点、最值、范围问题主要包括：空间中动点的轨迹判断，求轨迹的长度及动角的范围，判断动点、动线、动面的位置关系等．求解的一般方法是利用圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量坐标运算求轨迹的长度及范围等. (1)(多选)(2021·日照模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是(　　 ) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 (2)(2022·宁波模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，P为线段C1D上的动点，则直线A1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长度为(　　 ) A． B． C． D． 解析：　(1)如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确； 对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确； 对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确； 对于D，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，设N(x，y，0)， 则＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)， 因为D1N与AB所成的角为， 所以|cos〈，〉|＝cos ， 所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确． (2)如图，连接B1D1， 因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以B1D1∥EF， 则B1，D1，E，F四点共面． 连接A1C1，A1D，设A1C1∩B1D1＝M，A1D∩D1F＝N，连接MN， 则点Q的轨迹为线段MN， 易得A1D＝＝4， △A1ND1∽△DNF，且＝2， 所以A1N＝A1D＝. 易知A1C1＝C1D＝A1D＝4， 所以∠C1A1D＝60°，又A1M＝2， 所以在△A1MN中，由余弦定理可得MN2＝A1N2＋A1M2－2A1N·A1Mcos∠MA1N＝， 所以MN＝，即点Q的轨迹长度为. 答案：　(1)ACD　(2)C (多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是(　　 ) 学生用书第42页 A．平面BCM⊥平面A1AM B．三棱锥B­MB1C体积最大值为 C．当M为AB1的中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为 D．直线CM与A1D所成的角不可能是 ABC　[对于A，因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面AA1M， 所以BC⊥平面AA1M，又BC⊂平面BCM，所以平面BCM⊥平面A1AM，A正确； 对于B，VB­MB1C＝VC­BB1M＝S△BB1M·BC＝S△BB1M， 因为M为AB1上的动点，所以当M与A重合时，S△BB1M取得最大值为AB·BB1＝， 所以(VB­MB1C)max＝×＝，B正确； 对于C，以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系， 当M为AB1的中点时， M，又B1(1，1，0)，C(0，1，1)，D(0，0，1)， 所以＝(－1，－1，1)，＝， 所以cos〈，〉＝＝＝－， 所以当M为AB1的中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为，C正确； 对于D，如C中所建立的空间直角坐标系，设M(1，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)， 又A(1，0，1)，所以＝(0，1，－1)，＝(0，y，z－1)， 所以(0，y，z－1)＝(0，λ，－λ)， 则y＝λ，z＝1－λ，所以M(1，λ，1－λ)， 所以＝(1，λ－1，－λ)，又＝(－1，0，1)， 所以|cos〈，〉|＝＝， 若直线CM与A1D所成的角为，则＝， 解得λ＝2±，又λ∈[0，1]，所以当λ＝2－，即＝(2－)时，直线CM与A1D所成的角为，D错误．故选ABC．] 正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当·取得最小值时，点P到AD的距离为(