18 层级二 专题三 答题模板 立体几何（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

答题模板 立体几何 　　立体几何是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面平行、垂直以及空间角的计算，数学运算、直观想象及逻辑推理核心素养. (12分)(2021·新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值． [步骤要点]　(1)找垂直：在△AQD中找平面ABCD的垂线． (2)建系写坐标． (3)求法向量：分别求两个平面的法向量． (4)得结论：由两平面法向量的余弦值得二面角的平面角的余弦值． [阅卷细则]　(1)证明线面垂直时，没写两线相交，扣1分； (2)建系适当得1分； (3)求对法向量，最后结果错误，扣2分； (4)其他方法建立空间直角坐标系计算正确同样给分． [规范解答]　(1)证明：如图，取AD的中点为O，连接QO，CO. 因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，…………1分 而AD＝2，QA＝，故QO＝＝2. 在正方形ABCD中，因为AD＝2，故DO＝1，故CO＝， 因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2， 故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，…………3分 因为OC∩AD＝O，故QO⊥平面ABCD，…………4分 因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．…………5分 (2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD， 结合(1)中的QO⊥平面ABCD， 学生用书第41页 故可建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，－1，0)， 故＝(－2，1，2)，＝(－2，2，0)．…………7分 设平面QBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝， 故n＝.…………9分 而平面QAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，…………10分 故cos〈m，n〉＝＝＝.…………11分 二面角B­QD­A的平面角为锐角，故其余弦值为.…………12分 学科网（北京）股份有限公司 $