17 层级二 专题三 第三讲 空间向量与立体几何（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

第三讲　空间向量与立体几何 1．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° D　[如图所示： 不妨设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A，所以sin 30°＝＝，即b＝c， B1D＝2c＝，解得a＝c. 对于A，AB＝a，AD＝b，AB＝AD，A错误； 对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE＝＝，所以∠BAE≠30°，B错误； 对于C，AC＝＝c，CB1＝＝c，AC≠CB1，C错误； 对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C＝＝＝，而0<∠DB1C<90°，所以∠DB1C＝45°.D正确．故选D．] 2．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD ­A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° ABD　[如图，连接B1C、BC1，因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角， 因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确； 连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1， 因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C， 又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，故B正确； 连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO， 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B， 因为C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D， 所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角， 设正方体棱长为1，则C1O＝，BC1＝，sin∠C1BO＝＝， 所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误； 因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，故D正确．故选ABD．] 3．(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点．BF⊥A1B1. (1)证明：BF⊥DE； (2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 解析：　(1)证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB， 因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB， 又BB1∩BF＝B，所以AB⊥平面BCC1B1. 所以BA，BC，BB1两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 所以B，A，C，B1，A1(2，0，2)，C1，E(1，1，0)，F. 由题设D(0≤a≤2)． 因为＝，＝， 所以·＝0×＋2×1＋1×＝0，所以BF⊥DE. (2)设平面DFE的法向量为m＝， 因为＝，＝， 所以，即. 令z＝2－a，则m＝ 因为平面BCC1B1的法向量为＝， 设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为θ， 则＝＝＝. 当a＝时，2a2－2a＋4取最小值为， 此时cos θ取最大值为＝. 所以＝＝， 此时B1D＝. 4．(2022·新高考Ⅰ卷) 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A­BD­C的正弦值． 解析：　(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h， 则VA­A1BC＝S△A1BC·h＝h＝VA1­ABC＝S△ABC·A1A＝VABC­A1B1C1＝， 解得h＝，所以点A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B， 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC， 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面