15 层级二 专题三 第一讲 空间几何体（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

第一讲　空间几何体 1．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A．　　 B．2　　　 C．　　 D． C　[设母线长为l，甲圆锥底面圆的半径为r1，乙圆锥底面圆的半径为r2， 则＝＝＝2，所以r1＝2r2， 又＋＝2π，则＝1， 所以r1＝l，r2＝l，所以甲圆锥的高h1＝＝l， 乙圆锥的高h2＝＝l， 所以＝＝＝.故选C．] 2．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拨148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拨157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拨148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 C　[依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积V. 棱台上底面积S＝140.0 km2＝140×106 m2，下底面积S′＝180.0 km2＝180×106(m2)， 所以V＝h＝×9×(140×106＋180×106＋) ＝3××106≈(96＋18×2.65)×107＝1.437×109≈1.4×109(m3)． 故选C．] 3．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ­ABC的体积为(　　) A． B． C． D． A　[如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O­ABC的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝.故选A．] 4．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． C　[设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为α， 则SABCD＝·AC·BD·sin α≤·AC·BD≤·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)， 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，又r2＋h2＝1， 则VO ­ABCD＝·2r2·h＝≤ ＝， 当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立，故选C．] 5．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A． B． C． D．[18，27] C　[因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3， 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2， 所以6h＝l2，2a2＝l2－h2， 所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝××＝， 所以V′＝＝l3， 当3≤l<2时，V′>0，当2<l≤3时，V′<0， 所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为， 又l＝3时，V＝，l＝3时，V＝， 所以正四棱锥的体积V的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选C．] 6．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ． 解析：　设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π. 答案：　39π 简单几何体的表面积与体积的计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置关系的证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问． 考点一　空间几何体的表面积与体积 1．(多选)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　 ) A．π B．(1＋)π C．2π D．(2＋)π AB　[如果绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×＋π×12＝(＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个共底面的圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高为，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π.故选AB．] 2．(2022·济南模拟)如图所示的几