12 层级二 专题二 专项突破(二) 构造法求数列的通项公式（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

求数列的通项公式是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用. 已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，求{an}的通项公式． 解析：　由an＋1＝3an＋6可得：an＋1＋3＝3(an＋3)，所以{an＋3}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＋3＝3n－1，故an＝3n－1－3. (2021·重庆一中高三模拟)已知数列满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1.求数列的通项公式． 解析：　由an＋1－2an＝2n＋1，(左右两边同除以2n＋1)可得－＝1， 则数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，则＝1＋n－1＝n，即an＝n·2n. 学生用书第27页 (2021·四川遂宁高三三模(理))已知数列中，a2＝，an＝an＋1＋2anan＋1.求数列的通项公式． 解析：　因为an＝an＋1＋2anan＋1，令n＝1，则a1＝a2＋2a1a2，又a2＝， 所以a1＝1， 对an＝an＋1＋2anan＋1两边同时除以anan＋1，得－＝2， 又因为＝1，所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋2＝2n－1，故an＝. 类型1: 用“待定系数法”构造等比数列 形如an＋1＝kan＋p(k，p为常数，kp≠0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an＋1＋m＝k(an＋m)(其中：m＝)，由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式． 类型2：用“同除法”构造等差数列 (1)形如an＋1＝qan＋p·qn＋1(n∈N*)，可通过两边同除qn＋1，将它转化为＝＋p，从而构造出数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式． (2)形如an－an＋1＝kan＋1an(k≠0)的数列，可通过两边同除以an＋1an，变形为－＝k的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式． 即时练1.在数列中，a1＝2，an＋1＝2an＋2，则数列的通项公式为an＝ ． 解析：　由题意知：an＋1＋2＝2(an＋2)，而a1＋2＝4， 所以是首项为4，公比为2的等比数列，故an＋2＝4·2n－1＝2n＋1， 所以an＝2n＋1－2. 答案：　2n＋1－2 即时练2.已知等差数列中，a2＝11，a9＋a21＝100，数列满足2bn＋1＝bn＋，b1＝2. 求数列与数列的通项公式． 解析：　设数列的公差为d，因为为等差数列，所以a9＋a21＝2a15＝100，所以a15＝50. 因为a2＝11，所以a15－a2＝13d＝39，解得d＝3.所以an＝a2＋(n－2)d＝11＋3n－6＝3n＋5. 因为2bn＋1＝bn＋，所以bn＋1＝bn＋，所以bn＋1－＝.因为b1－＝， 所以是首项、公比均为的等比数列． 所以bn－＝，所以bn＝＋. 所以an＝3n＋5，bn＝＋. 即时练3.已知数列，满足a1＝，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝－16.证明为等比数列，并求的通项公式． 解析：　由2an＋1－an＝16an＋1an可得＝－16， 于是－16＝2，即bn＋1＝2bn， 而b1＝－16＝2，所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以bn＝2×2n－1＝2n. 即时练4.已知数列满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，求出数列的通项公式． 解析：　由题意知，a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则－＝2，则数列是以＝1为首项，2 为公差的等差数列，则＝1＋2，所以an＝. 学生用书第28页 学科网（北京）股份有限公司 $