4 攻略四 应考有数——八个知识板块（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

一、集合、常用逻辑用语、不等式 1．集合 (1)集合间的关系与运算 A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A． (2)子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2． (3)集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 2．全称命题、特称命题及其否定 (1)全称命题：∀x∈M，p(x)，它的否定为特称命题：∃x0∈M，¬p(x0)． (2)特称命题：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：∀x∈M，¬p(x)． (3)命题与其否定真假相反． 3．充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 4．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 5．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 6．分式不等式 >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔ 7．基本不等式 (1)基本不等式：≥(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立； ②()2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立． 学生用书第113页 (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集． [易错题1]　已知集合A＝{x|y＝x2－2}，集合B＝{y|y＝x2－2}，则(　　 ) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝A D．A∩B＝A C　[A＝{x|y＝x2－2}＝R，B＝{y|y＝x2－2}＝[－2，＋∞)，所以A∪B＝A，A∩B＝B．] 2．遇到A∩B＝∅时，需注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况． [易错题2]　已知集合A＝{x|x＜－3或x＞7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是 ． 解析：　当B＝∅时，有m＋1＞2m－1，则m＜2.当B≠∅时，有或解得m＞6. 综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)． 答案：　(－∞，2)∪(6，＋∞) 3．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍． [易错题3]　设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－1，2] B．(2，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) D　[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，利用数轴可知a＞－1.] 4．对于含有全称量词或存在量词命题的否定，要注意两个方面：一是量词的改写；二是结论的否定． [易错题4]　已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：∃x∈(0，)，f(x)<0，则(　　 ) A．p是假命题，¬p：∀x∈，f(x)≥0 B．p是假命题，¬p：∃x∈，f(x)≥0 C．p是真命题，¬p：∀x∈，f(x)≥0 D．p是真命题，¬p：∃x∈，f(x)≥0 C　[当x∈(0，)时，sin x<tan x，知p为真命题，¬p：∀x∈(0，)，f(x)≥0.] 5．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．“A的充分不必要条件是B”说明“B是条件”且B能推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”表明“A是条件”，