湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月数学小卷练习（一）

第 1页 满分：106 2023 届高三数学小卷练习（一） 分 时量:90 分钟 一、选择题：本题共 6 小题，每小题 5分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.在复平面内，复数� = 5�3−4� (�为虚数单位)，则�对应的点的坐标为 ( ) A. 3,4 B. −4,3 C. 45 , − 3 5 D. − 4 5 , − 3 5 2.定义：将 24小时内降水在平地上积水厚度(��)来判断降雨程度.其中小雨(0�� − 10��)，中雨 (10�� − 25��)，大雨(25�� − 50��)，暴雨(50�� − 100��)，小明用一个圆锥雉形容器接了 24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级 ( ) A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 3.已知平面向量� + � 与� − � 的模长之比为 3：1，且夹角为 90°，则� − � 与� 的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4.若 tan� =− 2，则sin� 1+sin2�sin�+cos� = ( ) A. − 65 B. − 2 5 C. 2 5 D. 6 5 5.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几 乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数�(� > 0且� ≠ 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．已知圆�的圆心�在直线� = 2� − 4上，半径为 1.点 � 0,3 ，若圆�上存在点�，使 sin∠��� = 2sin∠���，则圆心�的横坐标�的取值范围 ( ) A. 1 ≤ � ≤ 2 B. 0 ≤ � ≤ 43 C. 1 ≤ � ≤ 4 3 D. 0 ≤ � ≤ 12 5 6.已知正项数列{��}的前�项和为��，如果∀� ∈ �∗都有�� = 1 2 (�� + 1 �� )，数列{��}满足�� + �� = 9 2 , � ∈ � ∗，数列{��}满足�� = ����+1��+2，� ∈ �∗.设��为{��}的前�项和，则当��取得最大值时，� 的值等于 ( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 第 2页 二、选择题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 9.已知� > 0, � > 0, � + � = 2，则下列正确的是 ( ) A. ���+� ≤ 1 B. � + � ≤ 2 C. �2+�2 2 ⩽1 D. 2 � + 2� ≥ 4 10.下列命题中正确的是 ( ) A. 已知非零向量� ，� 满足|� | = 4|� |，且� ⊥ (� + 2� )，则� 与� 的夹角为5�6 B. 若� ，� ，�是平面内三个非零向量，则(� ·� )·� = � ·(� ·� ) C. 若� = (sin �, 1 + cos�)，� = (1, 1 − cos�)，其中� ∈ �, 3�2 ，则� ⊥ � D. 若�是△ ���所在平面上一定点，动点�满足OP = OA + � AB |AB | + AC |AC | ，� ∈ (0, + ∞)，则直线�� 一定经过△ ���的内心 11.已知正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2(如图所示)，点�为线段��1(含端点)上的动点，由点�， �1，�确定的平面为�，则下列说法正确的是 ( ) A. 平面�截正方体的截面始终为四边形 B. 点�运动过程中，三棱锥�1 − ��1�的体积为定值 C. 平面�截正方体的截面面积的最大值为 4 2 D. 三棱锥�1 − ��1�的外接球表面积的取值范围为[ 41 4 �, 12�] 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 13.设(1 − 2�)5(1 + �) = �0 + �1� + �2�2 + �3�3 + … + �6�6，则�0 + �3 = ． 14.已知曲线� = e1−� − �ln�在� = 1处的切线与直线�� + � + 2 = 0垂直，则实数� = ． 15.已知双曲线�：� 2 �2 − �2 �2 = 1 � > 0, � > 0 的左顶点为�，右焦点为�，�为双曲线�的右支上一点， 线段��与直线� = �交于点�，且满足 �� = 4 �� ，�� ⋅ �� = 409 � 2，则双曲线�的离心率