湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月数学小卷练习（三）

第 1页，共 15页 满分：106 2023 届高三数学小卷练习（三） 分 时量:90 分钟 一、选择题：本题共 6 小题，每小题 5分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合� = � ∈ � �2 − 3� − 4 ≤ 0 ，� = � 0 < ln� < 2 ，则� ∩ �的真子集的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2.等差数列{��}的公差为 2，前�项和为��，若�：�1 + 2，�2 + 2，�3 + 2成等比数列，�：{��}的首 项为 0，则 ( ) A. �是�的充要条件 B. �是�的既不充分也不必要条件 C. �是�的充分不必要条件 D. �是�的必要不充分条件 3.若两个正实数�，�满足 4� + � = ��且存在这样的�，�使不等式� + �4 < � 2 + 3�有解，则实数� 的取值范围是 ( ) A. −1,4 B. −4,1 C. −∞, − 4 ∪ 1, + ∞ D. −∞, − 3 ∪ 0, + ∞ 4.已知数列{��}的通项公式为�� = � + 5，从{��}中依次取出第 3，9，27，…，3�，…项，按原来的 顺序排成一个新的数列，则此数列的前�项和为 ( ) A. �(3 �+13) 2 B. 3 � + 5 C. 3 �+10�−3 2 D. 3�+1+10�−3 2 5.把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无 理数 5−1 2 ，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸 如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在▵��� 中，点�为线段��的黄金分割点(�� > ��)，�� = 2，�� = 3，∠��� = 60 ∘，则AD →   ⋅ BC →   =( ) A. 7 5−9 2 B. 9−7 5 2 C. 9 5−7 2 D. 7−9 5 2 6.已知函数�(�) = 12 + � � − �−�，若不等式�(��2) + �(1 − 2��)⩾1对∀� ∈ �恒成立，则实数�的取值 范围是 ．( ) A. (0, �] B. [0, �] C. [0,1] D. (0,1] 第 2页，共 15页 二、选择题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 9.已知函数�(�) = sin(�� + �)(� > 0, � < �2 )的图象经过点�(0, 3 2 )，且�(�)在[0,2�]上有且仅有 4 个零点，则下列结论正确的是 ( ) A. 43 ≤ � < 11 6 B. �(�)在(0,2�)上有 2或 3个极大值点 C. 将� = �(�)的图象向右平移�3个单位长度，可得 y = sin��的图象 D. 存在�，使�(�)在区间( − �3 , 0)上为单调函数 10.已知实数�，�满足：� > 0且�� − �2 ≥ 1，则 ( ) A. � + sin� > � + sin� B. �sin� > �sin� C. log2� > log�� D. (� + 1)� > (� + 1)� 11.已知函数�(�)及其导函数�′(�)的定义域均为�，对任意的�，� ∈ �，恒有�(� + �) + �(� − �) = 2�(�)·�(�)，则下列说法正确的有( ) A. �(0) = 1 B. �′(�)必为奇函数 C. �(�) + �(0) ≥ 0 D. 若�(1) = 12，则 �=1 2023 �(�) = 12 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 13.记双曲线�: � 2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的离心率为�，写出满足条件“直线� = 2�与�无公共点”的 �的一个值 ． 14.图 1是一枚质地均匀的骰子，图 2是一个正六边形(边长为 1个单位)棋盘，现通过掷骰子的方式 玩跳棋游戏，规则是：先将一棋子放在正六边形������的顶点�处．如果掷出的点数为�(� = 1,2,3,4,5,6)，则棋子就按顺时针方向行走�个单位，一直循环下去．则某人抛掷两次骰子后棋子恰好 有又回到点�处的所有不同走法共有 种． 图 2 15.已知�为正四面体外接球的球心，�是��的中点，连结��.过�点的直线分别交直线��和直线�� 于�, �两点，若�� = ��� , �� = ��� (�, � > 0)，则 1�2 + 1 �2的最小值为 ． 第 3页，共 15页 四、解答题：