湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月数学小卷练习（二）

第 1页，共 15页 满分：106 2023 届高三数学小卷练习（二） 分 时量:90 分钟 一、选择题：本题共 6 小题，每小题 5分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.设�2021� = 4 + 3�，则� = ( ) A. −3 − 4� B. −3+ 4� C. 3 − 4� D. 3 + 4� 2.已知向量� ，� 为非零向量， �� + �� = �� − �� �� ≠ 0 ，则� 与� 的夹角为 ( ) A. �6 B. � 3 C. � 2 D. 2� 3 3.已知随机变量� ∼ � 1, �2 ，且� � ≤ 0 = � � ≥ � ，则 � − �� 6 的展开式中常数项为 ( ) A. −240 B. −60 C. 240 D. 60 4. 5�技术的数学原理之一便是著名的香农公式：� = ����2(1 + � � ).它表示：在受噪声干挠的信道中， 最大信息传递速率�取决于信道带宽�、信道内信号的平均功率�、信道内部的高斯噪声功率�的大 小，其中 � �叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽�，而将信噪比 � �从 1000提升至 2000，则� 大约增加了 ( ) 附：lg2 ≈ 0.3010． A. 10% B. 30% C. 50% D. 100% 5.已知向量� = 1� , 1 ，� = 2, 3 � ，� > 0，� > 0，则下列说法正确的是 ( ) A. 若� + � = 1，则� ⋅ � 有最小值 5 + 2 6 B. 若�� = 1，则� ⋅ � 有最小值 6 C. 若� //� ，则 log2 3 � ⋅ � 的值为−1 D. 若� ⊥ � ，则22�+3�的值为 1 6.已知奇函数�(�)的定义域为( − �2 , � 2 )，且�′(�)是�(�)的导函数．若对任意� ∈ ( − � 2 , 0)，都有 �′(�)���� + �(�)���� < 0，则满足�(�) < 2���� ⋅ �( � 3 )的�的取值范围是 ( ) A. ( − �2 , � 3 ) B. ( − � 2 , − � 3 ) ∪ ( � 3 , � 2 ) C. ( − �3 , � 3 ) D. ( � 3 , � 2 ) 二、选择题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 9.函数�(�) = �sin(�� + �) + � � > 0, � < � 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ) 第 2页，共 15页 A. 函数� � 的解析式为�(�) = 2sin 2� + �3 + 1 B. 函数� � 的单调递增区间为 − 5�12 + ��, � 12 + �� (� ∈ Z) C. 函数� � 的图象关于点 ��2 , 1 (� ∈ Z)对称 D. 为了得到函数� � 的图象，只需将函数�(�) = 2cos 2� + �3 的图象向右平移 � 4个单位长度，再向 上平移一个单位长度 10.已知数列 �� ，��为 �� 的前�项和，其中�1 =− 1010，��+1 = �� + 3, �为奇数 �� − 1, �为偶数 ，则下列结论正 确的是 ( ) A. �� + ��+1 是等差数列 B. �2�−1 是等差数列 C. �2021 = 2021 D. �2022 = 3033 11.已知�1，�2是双曲线�: �2 �2 − �2 �2 = 1 � > 0, � > 0 的左、右焦点，过�1作倾斜角为30 ∘的直线分别 交�轴与双曲线右支于点�, �， �� = ��1 ，下列判断正确的是 ( ) A. ∠��2�1 = 60∘， B. ��2 = 1 2 ��1 C. �的离心率等于 3 D. �的渐近线方程为� =± 2� 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 13.记�为事件�的对立事件，且� � = 12 , � � � = 1 3 , � � = 3 4，则�(� ∪ �) = ． 14.写出斜率存在，且与圆(� + 1)2 + �2 = 1和抛物线�2 = 4�都相切的一条直线的方程为 15.直三棱柱��� − �1�1�1的 6个顶点都在球�的球面上，若�� ⊥ ��，�� = 2 3，�� = 2 6，��1 = 8，则球�的表面积为 ． 四、解答题：本题共 4小题，共 46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10分) 在△ ���中，内角�，�，�的对边分别为�，�，�