必考点16 分式方程的解法及应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点16 分式方程的解法及应用 ●题型一 分式方程的概念 【例题1】（2021秋•怀集县期末）下列是分式方程的是（　　） A． B．0 C．（x﹣2）x D．1＝0 【例题2】（2022秋•青龙县期中）方程、、、中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题技巧提炼】 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． ●题型二 解分式方程 【例题3】（2022春•双流区月考）解下列分式方程 （1）． （2）． 【例题4】（2021秋•宁南县期末）解方程： （1）； （2）． 【解题技巧提炼】 1.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 2.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． ●题型三 用换元法解分式方程 【例题5】（2022春•青浦区校级期末）用换元法解分式方程1＝0，如果设y，那么原方程化为关于y的整式方程是（　　） A．3y2+3y﹣1＝0 B．3y2﹣3y﹣1＝0 C．3y2﹣y+1＝0 D．3y2﹣y﹣1＝0 【例题6】（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【解题技巧提炼】 换元法解分式方程： 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． ●题型四 用分式方程的解确定字母的值 【例题7】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题8】已知方程的解为x＝2，求的值． 【例题9】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值． 【解题技巧提炼】 把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可. ●题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围 【例题10】（2021秋•周至县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠3 D．a＞1且a≠3 【例题11】（2022春•沙坪坝区校级期中）已知分式方程1的解x满足﹣2≤x≤5，求m的取值范围． 【例题12】（2022秋•天山区校级期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　 ． 【解题技巧提炼】 先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根. ●题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值 【例题13】（2021秋•岳阳楼区期末）关于x的方程有增根，则a的值为 　 　． 【例题14】（2022秋•巨野县期中）若关于x的方程有增根，求增根和k的值． 【例题15】（2022春•雁塔区校级期末）若关于x的方程有增根，求实数m的值． 【解题技巧提炼】 分式方程的增根 1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，