必考点09 等腰三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点09 等腰三角形的性质与判定 ●题型一 等腰三角形的分类讨论问题 ★★★1、解决边的分类讨论问题 【例题1】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（　　） A．13 B．17 C．18 D．19 【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可． 【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 【例题2】（2021秋•东莞市期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． （2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，根据周长列方程得到x+2x+2x＝20，然后解方程求出x，从而得到三角形的底边与腰长； （2）当腰为5cm时，底边长为10cm，不符合三角形三边的关系，故舍去；当底边长为5cm，腰长为7.5cm． 【解答】解：（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm， 根据题意得x+2x+2x＝20， 解得x＝4， 当x＝4时，2x＝8， 所以三角形的腰长为8cm、8cm，底边长为4cm； （2）能． 当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm）， 而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去； 当底边长为5cm，腰长为（20﹣5）＝7.5（cm）， 综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了三角形三边的关系． ★★★2、解决角的分类讨论问题 【例题3】（2022春•子洲县期末）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65° 【分析】此题分为：∠A为顶角、∠B为顶角和∠A、∠B同为底角，再根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质求得∠B的度数． 【解答】解：当∠A为顶角时，则∠B65°； 当∠B为顶角时，则∠B＝180°﹣2∠A＝80°； 当∠A、∠B为底角时，则∠B＝∠A＝50°． 故选：D． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 【例题4】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案． 方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC， 如图（1），∠ABD＝60°， 则∠A＝30°； 如图（2），∠ABD＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°． 故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°． 方法2：①当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， ∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． ★★★3、确定等腰三角形的分类讨论问题 【例题5】（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为 等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ． 【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案． 【解答】解：（1）如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠ABC的度数． ∵AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD， ∵∠CDA=2∠ABC， ∴∠CAB=3∠ABC， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠ABC=180°， ∴∠ABC=36°