必考点10 等边三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点10 等边三角形的性质与判定 ●题型一 等边三角形的性质 ★★★1、解决求线段长问题 【例题1】（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利用等边三角形的三线合一可得出AD为BC边的中线，结合BC＝4即可求出CD的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4． ∵∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∴AD为BC边的中线， ∴CDBC4＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出AD为BC边的中线是解题的关键． ★★★2、解决求角度问题 【例题2】（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A+∠3+∠2＝180°， ∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 【例题3】（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°， AE＝CE，F为BC中点，连接AF． （1）直接写出∠BAE的度数为　 　； （2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）分别求出∠BAC，∠CAE即可解决问题． （2）证明AF⊥BCEC⊥BC即可判断． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵EA＝EC，∠AEC＝120°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°． 故答案为90°． （2）结论：AF∥EC． 理由：∵AB＝AC，BF＝CF， ∴AF⊥BC， ∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°， ∴∠BCE＝90°， ∴EC⊥BC， ∴AF∥EC． 【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ★★★3、利用等边三角形的性质证明线段相等问题 【例题4】（2021秋•庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE． 【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知）， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键． 【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD． 求证：MB＝ME． 【分析】要证MB＝ME，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线重合即可得证． 【解答】证明：连接BD． ∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC60°＝30°，∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形， 又∵DM⊥BC， ∴MB＝ME． 【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键． 【解题技巧提炼】 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的