第1讲 立体几何选填专项冲刺-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第1讲　素养提升之立体几何选填专项冲刺 目录 第一部分：知识强化 第二部分：重难点题型突破 突破一：空间几何体外接球 突破二：空间几何体内切球 突破三：用基底表示向量 突破四：向量模及最值 突破五：向量数量积最值 突破六：空间向量的平行与垂直 突破七：异面直线所成角 突破八：直线与平面所成角 突破九：二面角 突破十：空间距离 突破十一：立体几何综合问题 第三部分：冲刺重难点特训 第一部分：知识强化 1、空间向量的数量积 1.1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 1.2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 1.3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 1.4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 2、空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 3、空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 3.1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 3.2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3.3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 3.4、两点间的距离公式 已知，则 4、用向量法求空间距离 4.1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 4.2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 5、用向量法求空间角 5.1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 5.2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 5.3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 第二部分：重难点题型突破 突破一：空间几何体外接球 1．（2022·四川成都·一模（理））已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）已知正三棱锥，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）三棱锥中，平面，其外接球表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，则其外接球体积最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知点是长方体的外接球球心，为球面上一点，，若与所成的角为，则四棱锥的体积的最大值为__________． 6．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积为___________. 7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则________