辽宁省五校2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题变式题

辽宁省五校2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题变式题 【原卷 1 题】 知识点 交集的概念及运算,解不含参数的一元二次不等式,具体函数的定义域 【正确答案】 D 1-1（基础） 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 A 1-2（基础） 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 1-3（巩固） 已知集合，，则（ ） A. B.或 C. D. 【正确答案】 D 1-4（巩固） 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 A 1-5（提升） 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 1-6（提升） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 B 【原卷 2 题】 知识点 求复数的模,复数代数形式的乘法运算,复数的除法运算 【正确答案】 D 2-1（基础） 若，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 2-2（基础） 设复数，则（ ） A. B.4 C. D.2 【正确答案】 D 2-3（巩固） 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B.5 C. D. 【正确答案】 A 2-4（巩固） 若复数z满足，则（ ） A.1 B.3 C.5 D.7 【正确答案】 C 2-5（提升） 已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ） A.5 B. C. D.1 【正确答案】 B 2-6（提升） 已知复数z满足，则（ ）． A. B. C. D.8 【正确答案】 A 【原卷 3 题】 知识点 比较指数幂的大小,比较对数式的大小 【正确答案】 A 3-1（基础） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 3-2（基础） 已知,,,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 A 3-3（巩固） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 3-4（巩固） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 3-5（提升） 设是定义域为R上的偶函数，且在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 B 3-6（提升） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 【原卷 4 题】 知识点 判断命题的必要不充分条件,一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【正确答案】 C 4-1（基础） 命题成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 4-2（基础） “关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D.或 【正确答案】 B 4-3（巩固） 命题“，”是命题“”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】 A 4-4（巩固） 关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 4-5（提升） 设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】 B 4-6（提升） 函数的定义域为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 【原卷 5 题】 知识点 指定区间的概率 【正确答案】 B 5-1（基础） 在某校的一次化学考试中，全体考生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参加考试的学生总数约为（ ） （参考数据：，，） A.202 B.205 C.206 D.208 【正确答案】 A 5-2（基础） 某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为（ ） A.60 B.40 C.30 D.15 【正确答案】 C 5-3（巩固） “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全､农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：服从正态分布.已知时，有.9973.下列说法错误的是（ ） A.该地水稻的平均亩产量是 B.该地水稻亩产量的方差是400 C.该地水稻亩产量超过的约占 D.该地水稻亩产量低于的约占 【正确答案】 C 5-4（巩固） 在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 A 5-5（提升） 下列说法正确的是（ ） A.随机变量X服从两点分布，若，则 B.随机变量，若，，则 C.随机变量X服从正态分布，且，则 D.随机变量X服从正态分布，且满足，则随机变量Y服从正态分布 【正确答案】 D 5-6（提升） 小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设做公交车用时，骑自行车用时，则（ ） A. B. C.如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D.如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【正确答案】 B 【原卷 6 题】 知识点 由项的系数确定参数 【正确答案】 D 6-1（基础） 在展开式中的系数为24，则实数a的值为（ ） A.1 B. C.2 D. 【正确答案】 D 6-2（基础） 已知（a，b均为常数）的展开式中第4项的系数与含项的系数分别为-80与80，则（ ） A.3 B.2 C.-2 D.-3 【正确答案】 A 6-3（巩固） 在的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 【正确答案】 B 6-4（巩固） 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【正确答案】 B 6-5（提升） 已知的展开式中常数项为，则（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 A 6-6（提升） 关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 【正确答案】 C 【原卷 7 题】 知识点 根据抛物线上的点求标准方程,与抛物线焦点弦有关的几何性质 【正确答案】 C 7-1（基础） 如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 A 7-2（基础） 已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，且 抛物线C上存在点M与x轴上一点关于直线l对称，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 7-3（巩固） 设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D.或 【正确答案】 D 7-4（巩固） 已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 7-5（提升） 已知抛物线C：的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线交于A、B两点（A在B的上方），若，则抛物线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 7-6（提升） 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 B 【原卷 8 题】 知识点 组合体的切接问题,柱体体积的有关计算 【正确答案】 C 8-1（基础） “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 8-2（基础） 如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3） A.11280cm3 B.12380cm3 C.12680cm3 D.12280cm3 【正确答案】 D 8-3（巩固） 《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（ ） A.2颗 B.3颗 C.4颗 D.5颗 【正确答案】 B 8-4（巩固） 徽砚又名歙砚，中国四大名砚之一，是砚史上与端砚齐名的珍品.以砚石在古歙州府加工和集散而得名，徽砚始于唐代，据北宋唐积《歙州砚谱》载：婺源砚在唐开元中，猎人叶氏逐兽至长城里，见叠石如城垒状，莹洁可爱，因携之归，刊出成砚，温润大过端溪，此后，徽砚名闻天下，如图所示的徽砚近似底面直径为，高为的圆柱体，则该徽砚的体积为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 8-5（提升） 阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为，则圆柱的体积为 （ ） A. B. C. D. 【正确答案】 C 8-6（提升） 图中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”（如图），莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，若曲侧面三棱柱的高为，底面任意两顶点之间的距离为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 B 【原卷 9 题】 知识点 基底的概念及辨析,平面向量数量积的几何意义,向量夹角的计算,垂直关系的向量表示 【正确答案】 A B D 9-1（基础） 关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A.若，则 B.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C.对于非零向量，，则 D.单位向量和，满足，则与的夹角为 【正确答案】 CD 9-2（基础） 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A.若，则 B.点，与向量同方向的单位向量为 C.若，则与的夹角为60° D.若向量，则向量在向量上的投影向量为 【正确答案】 ABD 9-3（巩固） 下列选项中正确的是（ ） A.若平面向量，满足，则的最大值是5； B.在中，，，O是的外心，则的值为4； C.函数的图象的对称中心坐标为 D.已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心； 【正确答案】 ABD 9-4（巩固） 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A.，，若与共线，则 B.已知，．若与垂直，则 C.若点为的重心，则 D.平面上三点的坐标分别为，，，若点与A，B，三点能构成平行四边形的四个顶点，则的坐标可以是 【正确答案】 ACD 9-5（提升） 下列说法错误的是（ ） A.若，则存在唯一实数使得 B.两个非零向量，，若，则与共线且反向 C.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D.在中，，则为等腰三角形 【正确答案】 AC 9-6（提升） 已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，，且，则的最大值与最小值之和为 【正确答案】 CD 【原卷 10 题】 知识点 计算几个数的平均数,平均数的和差倍分性质,计算几个数据的极差、方差、标准差,各数据同时加减同一数对方差的影响 【正确答案】 B C D 10-1（基础） 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到的另一组数据，，…，，满足（为非零常数），则下列结论一定成立的是（ ） A.两组数据的样本平均数不同 B.两组数据的中位数相同 C.两组数据的样本方差相同 D.两组数据的样本标准差不同 【正确答案】 AC 10-2（基础） 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A.两组样本数据的中位数相同 B.两组样本数据的极差相同 C.两组样本数据的标准差相同 D.两组样本数据的平均数相同 【正确答案】 BC 10-3（巩固） 下列结论中正确的是（ ） A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差不改变 C.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 D.数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 【正确答案】 ABC 10-4（巩固） 已知数据，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 BCD 10-5（提升） 有一组样本数据，由这组样本数据等到新的样本数据，，其中，则（ ） A.两组数据的样本极差的差值与有关，与无关 B.两组数据的样本方差的差值与有关，与有关 C.两组数据的样本平均数的差值与有关，与无关 D.两组数据的样本中位数的差值与有关，与有关 【正确答案】 AD 10-6（提升） 下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2 C. 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则 D. 若随机变量服从正态分布，，则 【正确答案】 BD 【原卷 11 题】 知识点 直线的倾斜角,直线过定点问题,由直线与圆的位置关系求参数 【正确答案】 B C 11-1（基础） 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A.直线与圆一定有公共点 B.当时直线被圆截得的弦最长 C.当直线与圆相切时， D.圆心到直线的距离的最大值为 【正确答案】 BCD 11-2（基础） 下列说法正确的是（ ） A.过点且在、轴截距相等的直线方程为 B.过点且垂直于直线的直线方程为 C.圆的一般方程为 D.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【正确答案】 BD 11-3（巩固） 下列命题中，表述正确的是（ ） A.直线恒过定点 B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点 【正确答案】 BD 11-4（巩固） 下列说法错误的是（    ） A.过点且在、轴截距相等的直线方程为 B.过，两点的直线方程为 C.过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是 D.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 【正确答案】 ABC 11-5（提升） 关于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A.若直线l与圆C相切，则为定值 B.若，则直线l被圆C截得的弦长为定值 C.若，则直线l与圆C相离 D.是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件 【正确答案】 ABD 11-6（提升） 下列结论正确的是（ ） A.若三点共线，则的值为0； B.已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为； C.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1； D.与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条. 【正确答案】 ACD 【原卷 12 题】 知识点 对数的运算,根据函数零点的个数求参数范围,由奇偶性求参数 【正确答案】 A B 12-1（基础） 已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B.在上单调递减 C.关于直线对称 D.的最小值为1 【正确答案】 ACD 12-2（基础） 若函数，分别为上的奇函数，偶函数，且满足，则有（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 AD 12-3（巩固） 是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D.当时， 【正确答案】 ACD 12-4（巩固） 定义在上的奇函数和偶函数满足：，下列结论正确的有（ ） A.，且 B.，总有 C.，总有 D.，使得 【正确答案】 ABC 12-5（提升） 已知函数，，若函数有唯一零点，则以下四个命题正确的是（ ） A. B.曲线在点处的切线与直线平行 C.函数在上的最大值为 D.函数在上单调递增 【正确答案】 AB 12-6（提升） 函数，函数（ ） A.存在使 B.当，函数有唯一零点 C.当，函数无零点 D.当时，函数有唯一零点 【正确答案】 BC 【原卷 13 题】 知识点 求双曲线的焦点坐标,由圆的一般方程确定圆心和半径 【正确答案】 13-1（基础） 若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________. 【正确答案】 13-2（基础） 已知双曲线的渐近线过圆的圆心，则__________． 【正确答案】 4 13-3（巩固） 已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则_________. 【正确答案】 13-4（巩固） 设圆与双曲线的渐近线相切，则实数________． 【正确答案】 或 13-5（提升） 已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______． 【正确答案】 2 13-6（提升） 已知圆恰好被双曲线的一条渐近线平分成周长相等的两部分，则的离心率为____________． 【正确答案】 【原卷 14 题】 知识点 二倍角的余弦公式 【正确答案】 14-1（基础） 已知 ，则________. 【正确答案】 14-2（基础） 若，则的值为_______． 【正确答案】 14-3（巩固） 已知，则______． 【正确答案】 14-4（巩固） 已知 ​， 则​_________ 【正确答案】 或 14-5（提升） 若，，则___________. 【正确答案】 -1 14-6（提升） 已知，则的值是____. 【正确答案】 【原卷 15 题】 知识点 由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和 【正确答案】 15-1（基础） 已知数列的前n项和，且，则的值为___________． 【正确答案】 15-2（基础） 已知数列，满足，且，则___________. 【正确答案】 15-3（巩固） 已知数列的前n项和为，若，，则______． 【正确答案】 93 15-4（巩固） 已知数列的前n项和为，则的值为______. 【正确答案】 或 15-5（提升） 如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形，每个正方形的四个项点都在其外接正方形的四边上，且分边长为4:3，现用26米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为2米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为__________.(参考数据:) 【正确答案】 7 15-6（提升） 已知数列满足对任何正整数n均有，设，则数列的前2020项之和为________. 【正确答案】 【原卷 16 题】 知识点 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,函数与导数综合 【正确答案】 16-1（基础） 已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______． 【正确答案】 16-2（基础） 定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为_______. 【正确答案】 16-3（巩固） 已知关于x的方程有4个不等实数根，则a的取值范围是______． 【正确答案】 16-4（巩固） 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”、如果函数与的“新驻点”分别为，那么和的大小关系是__________． 【正确答案】 16-5（提升） 已知关于的方程有三个实数根，则的取值范围是__________. 【正确答案】 16-6（提升） 已知方程恰有四个不同实数根，当函数时，实数的取值范围是 _______. 【正确答案】 【原卷 17 题】 知识点 正弦定理,三角形面积公式,余弦定理 【正确答案】 17-1（基础） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． 1、求角C的大小； 2、若，求的面积． 【正确答案】 1、 2、 17-2（基础） 在中，分别为角所对的边.已知，，. 1、求的值； 2、求的面积. 【正确答案】 1、2 2、 17-3（巩固） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在线段AC上，且，，. 1、求角B的大小； 2、求的面积. 【正确答案】 1、 2、 17-4（巩固） 在中，角所对的边分别为，且，的中线长为． 1、证明：； 2、求的面积最大值． 【正确答案】 1、 2、 17-5（提升） 的内角A，B，C所对的边分别为． 1、求A的大小； 2、M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积． 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题． ①M为的重心，； ②M为的内心，； ③M为的外心，． 【正确答案】 1、 2、答案见解析 17-6（提升） 在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3． 1、若cos∠CBD＝，求； 2、记四边形ABCD的面积为,求的最大值． 【正确答案】 1、 2、 【原卷 18 题】 知识点 等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和,裂项相消法求和 【正确答案】 18-1（基础） 在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前n项和，若________． 1、求； 2、记，已知数列的前n项和，求证： 【正确答案】 1、 2、证明见解析 18-2（基础） 在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答． 问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______． 1、求； 2、若，求数列的前项和． 注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分． 【正确答案】 1、 2、 18-3（巩固） 在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______? 1、求数列的通项公式: 2、求证：. 【正确答案】 1、 2、证明见解析 18-4（巩固） 设数列的前项和为，已知，__________. 1、求数列的通项公式； 2、设，数列的前项和为，证明：. 从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）： ①数列是以为公差的等差数列；②. 【正确答案】 1、选择①②，都有； 2、证明见解析. 18-5（提升） 已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件： ①；②；③ 请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题： 1、求数列的通项公式； 2、若，求的前n项和，并证明：． 【正确答案】 1、； 2、；证明见解析. 18-6（提升） 已知等差数列与正项等比数列，满足，，. 1、求数列和的通项公式； 2、在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分） 【正确答案】 1、， 2、见解析 【原卷 19 题】 知识点 求点面距离,线面角的向量求法,点到平面距离的向量求法 【正确答案】 19-1（基础） 如图，在直三棱柱中，E，F，G分别为线段及的中点，P为线段上的点，，三棱柱的体积为240． 1、求点F到平面的距离； 2、试确定动点P的位置，使直线与平面所成角的正弦值最大． 【正确答案】 1、 2、P为中点 19-2（基础） 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，． 1、证明：平面； 2、求与平面所成角的正弦值； 3、求到平面的距离． 【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、 19-3（巩固） 如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 . 1、求证： ; 2、若直线与平面所成角的正弦值为，求的值; 3、在满足（2）的条件下，求点到平面的距离. 【正确答案】 1、证明见解析； 2、； 3、点到平面的距离为. 19-4（巩固） 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点． 1、求证：平面； 2、求直线与平面所成角的正弦值； 3、求点到平面的距离． 【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、1 19-5（提升） 已知是锐角三角形，分别以为直径作三个球.这三个球交于一点. 1、若，求到平面的距离； 2、记直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，证明：为定值. 【正确答案】 1、； 2、证明见解析. 19-6（提升） 如图所示，在三棱柱中，，，，平面 平面，点是线段的中点. 1、求证：平面； 2、求直线与平面所成角的正弦值. 3、若点在线段上，且平面，求点到平面的距离. 【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、 【原卷 20 题】 知识点 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的定值问题 【正确答案】 20-1（基础） 已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且． 1、求C的方程； 2、过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线． 【正确答案】 1、； 2、证明见解析﹒ 20-2（基础） 已知椭圆C：过点，离心率． 1、求椭圆C的方程； 2、设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线． 【正确答案】 1、； 2、证明见解析. 20-3（巩固） 如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆C过点，离心率为． 1、求椭圆C的方程； 2、设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线． 【正确答案】 1、 2、证明见解析 20-4（巩固） 已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线与的斜率之积为定值； （3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论. 【正确答案】 （1）；（2）定值为，证明见解析；（3），，三点共线，证明见解析. 20-5（提升） 已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4. （1）求证：点P､Q､O三点共线； （2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S； （3）若F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值. 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）；（3）8. 20-6（提升） 已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，，是椭圆上的两动点，设直线，的斜率分别为，. 1、求椭圆的方程； 2、若，，三点共线，求的值. 【正确答案】 1、 2、 【原卷 21 题】 知识点 卡方的计算,独立重复试验的概率问题 【正确答案】 21-1（基础） 某种疾病可分为Ⅰ､II两种类型.为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一种，得到下面的列联表： Ⅰ型病 II型病 男 150 50 女 125 75 1、根据列联表，判断是否有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关. 2、某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排2个接种周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为p（0<p<1），每人每次接种的费用为m元（m为大于零的常数）.方案一：每个周期必须接种3次，若在第一个周期内3次出现抗体，则终止试验；否则进入第二个接种周期.方案二：每个周期至多接种3次，若第一个周期前两次接种后均出现抗体，则终止本周期的接种，进入第二个接种周期，否则需依次接种完3次，再进入第二个接种周期；若第二个接种周期第1次接种后出现抗体，且连同第一个接种周期共3次出现抗体，则终止试验，否则需依次接种完3次.假设每次接种后出现抗体与否相互独立.用随机变量X和Y分别表示按方案一和方案二进行一次试验的费用. ①求和； ②从平均费用的角度考虑，哪种方案较好？ 参考公式：，其中n=a+b+c+d. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【正确答案】 1、有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关； 2、①；；② 方案二较好. 21-2（基础） 电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地），与世界上任何一个角落的网络用户联系．我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字． （1）根据以上数据填写列联表： 中国人 外国人 总计 邮箱名称里有数字 邮箱名称里无数字 总计 （2）能否有99％的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？ （3）用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的 概率为，试比较与的大小． 附：临界值参考表与参考公式 （，其中） 【正确答案】 （1）联表见解析；（2）有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”；（3）． 21-3（巩固） 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格： 日行步数（单位：千步） 人数 10 40 150 200 350 200 50 （1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关； 日行步数千步 日行步数千步 总计 40岁以上 120 40岁以下（含40岁） 40 总计 200 （2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？ 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【正确答案】 （1）答案见解析；（2）12位居民． 21-4（巩固） 随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，2019年我国人均预期寿命达到77岁.居民人均寿命提升､健康状况改善，使得群众生产生活中驾车出行需求持续增长，呼吁进一步放宽学驾年龄，进一步方便就近体检.2020年10月22日，公安部新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车､小型自动挡汽车､轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限.为了了解70岁以上人群对考取小型汽车驾照新规的态度，某研究单位对某市的一个大型社区中70岁以上人员进行了随机走访调研，在48名男性人员中有36人持“积极响应”态度､12人持“不积极响应”态度，在24名女性人员中持“积极响应”态度和“持不积极响应态度”的各有12人. （1）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关？ 积极响应 不积极响应 合计 男 女 合计 （2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)； （3）不计性别，以样本的频率估计概率，在该市的70岁以上人群中任取4人，求至少有2人持“积极响应”态度的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【正确答案】 （1）列联表答案见解析，有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）. 21-5（提升） 世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区．这让某国某州的医疗一度濒临崩遗．某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表： 接种新冠疫苗与否/人数 感染Delta病毒 未感染Delta病毒 未接种新冠疫苗 20 30 接种新冠疫苗 10 60 1、是否有的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关； 2、以样本中结束医学现察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率； 3、该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当p为何值时，最大？ 附：． 0.1 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【正确答案】 1、有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关 2、 3、 21-6（提升） 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人． （Ⅰ）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关； 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 （Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望； （Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？ 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【正确答案】 （Ⅰ）列联表详见解析，有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（Ⅱ）分布列详见解析，期望为；（Ⅲ）． 【原卷 22 题】 知识点 利用导数证明不等式,利用导数研究方程的根,求已知函数的极值点 【正确答案】 22-1（基础） 己知函数（e是自然对数的底数）. 1、若是函数的两个零点，证明：； 2、当时，若对于，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围. 【正确答案】 1、见解析； 2、. 22-2（基础） 已知函数（） 1、当时，有两个实根，求取值范围； 2、若方程有两个实根，且，证明： 【正确答案】 1、取值范围是 2、证明见解析 22-3（巩固） 已知函数，. 1、若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； 2、若方程有且仅有两个实根， ①求实数的取值范围； ②证明：. 【正确答案】 1、； 2、①；②证明见解析. 22-4（巩固） 已知函数在处的切线方程为． 1、求a，b的值； 2、若方程有两个实数根， ①证明：； ②当时，是否成立？如果成立，请简要说明理由． 【正确答案】 1、， 2、①证明见解析，②成立，理由见解析 22-5（提升） 已知函数，其中. 1、求函数的单调区间； 2、当时， ①证明：； ②方程有两个实根，且，求证：. 【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为 2、①证明见解析；②证明见解析 22-6（提升） 已知函数. 1、若，讨论的单调性； 2、若方程有两个不同的实数根. （i）求的取值范围； （ii）若，求证：. (参考数据：) 【正确答案】 1、答案见解析； 2、(i)；(ii)证明见解析. 答案解析 1/100 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1-1【基础】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 用列举法写出集合，求出集合，再写出与的交集即可. 详解: 由集合，解得；由，解得，则 . 故选：A 1-2【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 直接解出集合，再求交集即可. 详解: ，，则. 故选：D. 1-3【巩固】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 解不等式求得集合，由此求得. 详解: ， 解得或，所以或. 在上递增， ，所以， 所以， 所以. 故选：D 1-4【巩固】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 解二次不等式和指数不等式，再求解集的交集. 详解: 不等式解得或，集合或. 不等式解得，集合. ∴ 故选：A 1-5【提升】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 利用集合的交集运算即可. 详解: 由已知，所以集合 又因为， ，所以集合 故选：D 1-6【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 由对数型函数的定义域和绝对值不等式知识求得集合与集合，再由集合的基本运算求解. 详解: 根据题意，得， ∴， 又∵， 由得，解得， ∴， ∴. 故选：B. 2-1【基础】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 设，，由条件列方程求，再由复数的模的公式求. 详解: 设，，因为， 所以，， 所以，，所以， 故选：C. 2-2【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 先求再求模长可得答案. 详解: . 故选：D． 2-3【巩固】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 根据复数的除法运算法则化简，进而由模长公式即可求解. 详解: ，则. 故选：A. 2-4【巩固】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 利用复数的除法运算化简，再利用复数模的公式即可求解 详解: 由可得 ， 所以， 故选：C 2-5【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解. 详解: 由得：，即， 解得，从而. 故选：B 2-6【提升】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 根据复数的除法求出z,再根据复数模的计算即可求得答案. 详解: 因为，所以 ， 故， 故选：A. 3-1【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 根据指数函数，幂函数的单调性，对进行比较，即可判断和选择. 详解: 因为以及是上的单调减函数，故可得，， 即，； 又因为， 而是上的单调增函数，则，即. 故. 故选：D. 3-2【基础】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 根据构造函数,判断单调性,判断数的大小范围,进而比较大小即可. 详解: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 解：构造可知单调递增, , , 造可知单调递减, , , 构造可知单调递减, , , 所以. 故选:A 3-3【巩固】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 利用指数、对数函数的单调性即可比较大小. 详解: 因为,所以, ,即, ,即, 所以, 故选:C. 3-4【巩固】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 根据对数函数与指数函数单调性即可得到大小关系. 详解: 为上单调递增函数,则 , 为上单调递减函数,则,且, 由为上单调递增函数,可得, 则, 故选：D. 3-5【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 由偶函数性质得，由对数函数与指数函数性质比较，，的大小，再由单调性得大小关系． 详解: ∵是R上的偶函数，∴. ∵，，∴，又在单调递增， ∴，∴， 故选：B. 3-6【提升】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 由函数单调性，对数运算及中间值比较大小. 详解: 因为单调递增，故， 又，所以． 故选：C 4-1【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 求命题成立的等价条件由此可得其成立的充分必要条件. 详解: ∵ ， ∴ 命题成立的充分必要 1/100 学科网（北京）股份有限公司 条件是， 故选：D． 4-2【基础】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 首先根据的解集为得到，再根据必要不充分条件即可得到答案. 详解: 不等式的解集为等价于的解集为. 所以，解得. 所以的一个必要不充分条件是. 故选：B 点睛: 本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式恒成立问题，属于简单题. 4-3【巩固】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 由命题“，”求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 详解: 若，，则，解得， ∴命题“，”是命题“”的充要条件， 故选：A． 4-4【巩固】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 根据二次不等式恒成立得，再根据充分不必要条件的概念求解即可. 详解: 解：当时，，该不等式成立； 当，即时，该不等式成立； 综上，得当时， 关于的不等式恒成立， 所以，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是． 故选：D． 4-5【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 分别求出命题甲和命题乙对应的的范围，然后根据充分性和必要性的概念求解即可. 详解: 对于命题甲：因为是开口向上的二次函数， 所以对于，是真命题，则与轴无交点， 从而，解得； 对于命题乙：函数在上单调递减是真命题， 由对数函数单调性可知，，解得， 因为，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 4-6【提升】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 等价于在上恒成立，然后对进行讨论进而求得范围，最后根据充分条件、必要条件的概念进行简单判断即可. 详解: 由题可知：等价于在上恒成立 当时，在上不一定恒成立， 当时，则， 所以根据四个选项可知函数的定义域为的一个充分不必要条件可以是 故选：C 5-1【基础】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 利用给定的正态分布求出90分以上的概率，再列式计算作答. 详解: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 因化学考试的成绩服从正态分布，显然期望，标准差， 于是得， 所以参加考试的学生总数约为. 故选：A 5-2【基础】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 首先根据题意得到，即可得到答案. 详解: ，. 故选：C 5-3【巩固】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 详解: 由题意可知，，，故A，B正确； 由题意得，， 所以，故C错误； 所以，故D正确； 故选：C. 5-4【巩固】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 利用正态分布曲线的特点求出，然后再求恰有2名学生的成绩不低于85的概率即可. 详解: 因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，， 所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是. 故选：A. 5-5【提升】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 计算两点分布的期望判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用期望、方差的性质计算判断D作答. 详解: 随机变量X服从两点分布，由，得 ，则，A错误； 随机变量，有，，解得，B错误； 随机变量，则， ，C错误； 随机变量X，Y满足，则，，，因此，D正确． 故选：D 5-6【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 详解: 因为，， 将化为标准正态分布，则， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 6-1【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 写出展开式通项，根据题意可得，代入通项后可得出关于的等式，即可求解 详解: 的展开式为， 由题意得，故的系数为，解得， 故选：D. 6-2【基础】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 利用二项式的展开项公式得到第4项与含项的系数表达式，求得a，b后即可得解. 详解: 由题意，知第4项的系数为， 含项的系数为， 所以，即， 解得，所以， 故选：A． 6-3【巩固】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 利用二项展开式的通项，结合题意列出需满足的条件，把各选项代入验证即可. 详解: ，由题意得 ， 把各选项代入验证可得n＝6，r＝2满足， 故选：B． 6-4【巩固】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 二项式项的公式，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值 详解: 由题意的展开式的 ， 令 ，得，当时，取到最小值. 故选：B． 6-5【提升】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 先求展开式中含和项，然后可得的展开式中常数项，根据已知解方程可得. 详解: 展开式中第项 当时，，时，， 所以的展开式中常数项为， 所以，得. 1/100 学科网（北京）股份有限公司 故选：A 6-6【提升】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 根据二项式展开式可求得含的项的系数，即得方程，求得答案. 详解: 由题意得的系数为 ，解得， 故选：C. 7-1【基础】 【正确答案】 A 【试题解析】 分析: 分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程. 详解: 如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点. 设，, ，由抛物线定义得：， 故 在直角三角形中，， ，， ， ， ， ∥，， ，即， ， 所以抛物线的方程为. 故选：A 7-2【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 设抛物线的准线为，如图，分别过点作，垂足为，过点作交于点，根据抛物线的定义可得，易得即可得到，利用对称关系求出M的坐标，代入抛物线方程即可得到p. 详解: 设抛物线与的准线为， 不妨设A在第一象限，如图所示， 分别过点作，垂足为， 过点作交于点， 则，，， 在中，由，可得， 轴，， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ， 直线方程为，由， 解得点的坐标：，， 代入，得， 由解得，即抛物线方程为. 故选：D. 7-3【巩固】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 首先根据抛物线的定义得到圆经过焦点，又也在圆上，接着分类讨论当，不重合时，根据垂径定理求得；当，重合时，，最后写出抛物线的方程. 详解: 由抛物线的定义知，圆经过焦点，点的横坐标为5， 由题意，当，不重合时，是线段垂直平分线上的点， ∴， ∴， 所以抛物线的方程为； 当，重合时， ∴， ∴， 所以抛物线的方程为． 故选D． 点睛: 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 7-4【巩固】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值. 详解: 不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为. 故选：C 点睛: 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7-5【提升】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 根据抛物线的定义，表示出，再表示出，利用，得到和之间的关系，将点坐标，代入到抛物线中，从而解出的值，得到答案. 详解: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 抛物线C：， 其焦点，准线方程， 因为点是抛物线上一点， 所以 所在直线， 设于，则， 因为， 所以，即 整理得 所以 将点代入到抛物线方程，得， 解得， 所以抛物线方程为 故选：C. 点睛: 本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题. 7-6【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 利用圆和抛物线的定义得到是等边三角形，再面积得到的长度，进而建立关于的等式即可求解. 详解: 解：∵以为圆心，为半径的圆交于，两点，，结合抛物线的定义可得： 是等边三角形， ． 的面积为：， ． 又点到准线的距离为，则该抛物线的方程为． 故选：B． 8-1【基础】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 由题意可求出正方体的体积和其内切球的体积，从而可求出牟合方盖的体积，然后用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可 详解: 正方体的体积为，其内切球的体积为， 由条件可知牟合方盖的体积为， 故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为. 故选：C 8-2【基础】 【正确答案】 D 【试题解析】 分析: 根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 详解: 由题意得圆柱的高约为（cm）， 则何尊的体积（cm3） 故选：D． 8-3【巩固】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 根据圆台体积公式求得一个石子的体积，再结合圆柱 1/100 学科网（北京）股份有限公司 的体积公式，求得需要填充石子的体积，即可求得结果. 详解: 根据题意，作图如下： 如图所示，因为，，，所以. 因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径， 则由圆台公式可得：； 因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到， 即 则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子. 故选：B. 8-4【巩固】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 先求出底面半径，然后利用圆柱的体积公式求解即可 详解: 由题意得该徽砚的底面半径为5cm， 所以该徽砚的体积为， 故选：C 8-5【提升】 【正确答案】 C 【试题解析】 分析: 先由球的体积求得球的半径，再根据圆柱的体积公式可求得答案. 详解: 解：因为该球的体积为，设球的半径为R，则，解得。 所以圆柱的体积为：， 故选：C. 8-6【提升】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析: 根据三角形面积和扇形面积可求得底面弓形面积，由此可得“莱洛三角形”的面积，由棱柱的体积公式可求得结果. 详解: 由题意知：底面正三角形面积为， 底面三个小弓形的面积均为：， 底面“莱洛三角形”的面积， “曲侧面三棱柱”的体积. 故选：B. 9-1【基础】 【正确答案】 CD 【试题解析】 分析: 当，且时，可判断A错误；由 且与不同向，求出的取值范围，可判断B错误；根据平面向量数量积的运算律进行运算，可判断C正确；利用平面向量的模和数量积求出夹角，可判断D正确. 详解: 当，且时，与可以不相等，故A错误； 因为，，与的夹角为锐角， 所以且与不同向， 由，得，即 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ， 当与同向时，存在正数，使得，因为、不共线，所以，所以当与不同向时，，所以的取值范围为，故B错误； 又对于非零向量，，∵，故C正确； 当时，有，得， 得，因为，所以，即与的夹角为.故D正确； 故选：CD． 9-2【基础】 【正确答案】 ABD 【试题解析】 分析: 对于A，算出即可判断；对于B，与向量同方向的单位向量为，通过向量坐标运算即可判断；对于C，通过能得到，通过能得到，再利用计算即可判断；对于D，向量在向量上的投影向量为，通过向量坐标运算即可判断 详解: 解：对于A，因为 ，所以，故正确； 对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确； 对于C，因为，所以即化简得， 因为，所以即化简得， 所以， 因为，所以，故错误； 对于D，因为，，所以向量在向量上的投影向量为，故正确， 故答案为：ABD 9-3【巩固】 【正确答案】 ABD 【试题解析】 分析: 利用数量积的运算律及性质计算判断A；利用三角形外心及数量积计算判断B；求出函数的对称中心判断C；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D作答. 详解: 对于A，因，则 ， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 则，同理有, 所以，B正确； 对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确； 对于D，点P在内，由得：，即，有， 由，同理有，因此点P为的垂心，D正确. 故选：ABD 9-4【巩固】 【正确答案】 ACD 【试题解析】 分析: 由向量共线的坐标表示求得判断A，由垂直的向量表示计算求得，再求出向量的模判断B，根据三角形重心的性质与向量的线性运算计算后判断C，分类讨论求得点坐标判断D． 详解: A．若与共线，则，，A正确； B．若与垂直，则，， 则，B错； C．点为的重心，设延长线交于，则是中点， ，， 同理，， ∴，C正确； D．设， 若是对角顶点，则，，即， 若是对角顶点，则，，即， 或是对角顶点，则，，即． D正确． 故选：ACD． 9-5【提升】 【正确答案】 AC 【试题解析】 分析: 若可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出的坐标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C；取的中点，根据向量的线性运算可得可判断D，进而可得正确选项. 详解: 对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误； 对于B：两个非零向量，，若，则， 所以，可得，，因为，所以，所以与共线 1/100 学科网（北京）股份有限公司 且反向，故选项B正确； 对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确； 对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确． 故选：AC． 9-6【提升】 【正确答案】 CD 【试题解析】 分析: 对于A选项，通过运算可知，与的夹角为，即可判断与不一定相等； 对于B选项，举出一个反例即可； 对于C选项，运算得； 对于D选项，建立直角坐标系，可设，，，由此可求出在平面对应的点C的轨迹是圆，即可得出的最值. 详解: 对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确； 对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确； 对于C选项，，所以选项C正确； 对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确， 故选：CD. 10-1【基础】 【正确答案】 AC 【试题解析】 分析: 根据平均数、方差的性质判断即可. 详解: 解：对于A，设样本数据，，，的平均数为， 则新样本数据，，，的平均数是，平均数不同，故A正确； 对于B，设样本数据，，，的中位数为， 则新样本数据，，，的中位数是，中位数不同，故B错误； 对于C，样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，， 两组数据的波动性相同，所以方差、标准差相同，故C正确，D错误； 故选：AC． 10-2【基础】 【正确答案】 BC 【试题解析】 分析: 根据中位数、极差、平均数、方差的性质判断即可； 详解: 解： 对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误； 1/100 学科网（北京）股份有限公司 对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为， 新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确． 对于D，原样本数据的样本平均数为， 新样本数据的样本平均数为，故D错误； 对于C，原样本数据的标准差为：， 新样本数据的标准差为：，故C正确； 故选：BC． 10-3【巩固】 【正确答案】 ABC 【试题解析】 分析: A选项，利用中位数的定义可判断； B选项，一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，平均数会随之改变，方差不变； C选项，可以看出平均数和样本总量，从而求出样本数据的总和； D选项，方差会变为原来的4倍. 详解: 对于A，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，都为，∴A正确： 对于B，一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数也减去a，方差不改变，∴B正确； 对于C，∵样本的方差，∴这个样本有20个数据，平均数是3，∴这组样本数据的总和为3×20＝60，C正确； 对于D，数据，，，…，的方差为M，则数据，，，…，的方差为4M，∴D不正确． 故选：ABC 10-4【巩固】 【正确答案】 BCD 【试题解析】 分析: 由众数的计算方法可判断A;根据平均数的概念可判断B；根据方差的性质判断C；根据百分位数的计算可判断D. 详解: 由题意可知，两组数据满足，则它们的众数也满足该关系，则有，故A错误； 由平均数计算公式得： ，即，故B正确； 由方差的性质可得，故C正确； 对于数据，…，，假设其第80百分位数为， 当是整数时， ，当不是整数时，设其整数部分为k,则， 故对于数据，…，，假设其第80百分位数为， 当是整数时， ，当不是整数时，设其整数部分为k,则， 故，故D正确， 故选：BCD 10-5【提升】 【正确答案】 AD 1/100 学科网（北京）股份有限公司 【试题解析】 分析: 根据样本平均数、中位数、方差、极差的概念逐项分析判断即可. 详解: 解：A项中，设原样本数据的极差为， 则新的样本数据的极差为， 所以，故两组数据的样本极差的差值与有关，与无关，故A项正确； B项中，设原样本数据的方差为， 则新的样本数据的方差为， 所以，故两组数据的样本方差的差值与有关，与无关，故B项错误； C项中，设原样本数据的平均数为， 则新的样本数据的平均数为， 所以，故两组数据的样本平均数的差值与有关，与有关，故C项错误； D项中，设原样本数据的中位数为， 则新的样本数据的方差为， 所以，故两组数据的样本中位数的差值与有关，与有关，故D项正确. 故选：AD. 10-6【提升】 【正确答案】 BD 【试题解析】 分析: 对于A，根据中位数的定义作答；对于B，根据方差的计算公式作答； 对于C，根据回归直线的性质作答；对于D，根据正态分布的对称性作答. 详解: 5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A错； ，，…，方差为2，设，则， 所以，则， 即，，…，方差为2，B正确； 将代入得，则，C错； ，为分布曲线的对称轴，则， 由，则， 因此，，D正确. 故选：BD. 11-1【基础】 【正确答案】 BCD 【试题解析】 分析: 由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确； 当时可得直线l过圆心，所以B正确； 直线l与圆相切时可得，所以C正确， 当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确． 详解: 由题意知直线过定点，且点在圆外 1/100 学科网（北京）股份有限公司 部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确. 故选：BCD. 11-2【基础】 【正确答案】 BD 【试题解析】 分析: A选项，考虑截距为0时，直线方程为，A错误； B选项，设出直线方程，代入点的坐标，从而求出直线方程； C选项，没有加上，错误； D选项，求出直线过的定点，曲线的几何意义为半圆，数形结合求出实数的取值范围. 详解: 当截距为0时，设直线方程为，将代入，得，所以直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，将点代入，得，所以直线方程为， 综上：过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错误； 设方程为，将代入，得，故过点且垂直于直线的直线方程为，B正确； 圆的一般方程为，C错误； 直线恒过点， 曲线变形为，，几何意义为以为圆心，2为半径的圆的一部分（位于的上方部分）， 如图所示： 刚好为圆的一条切线， 当斜率存在且与圆相切时，有，解得：， 当经过点时，，解得：， 结合图象可知：直线与曲线有两个不同的交点， 则实数的取值范围，D正确. 故选：BD 11-3【巩固】 【正确答案】 BD 【试题解析】 分析: 将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；直线过定点，数形结合得判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项. 详解: 解：对于选项A：由 1/100 学科网（北京）股份有限公司 可得：， 由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确； 对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径， 平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 所以，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确； 对于选项C：由题知直线过定点， 曲线表示以为圆心，为半径的圆在直线及上方的半圆， 如图，直线为过点，与半圆相切的切线，切点为， 所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则， 所以，当直线与半圆相切时，有，解得，即 因为， 所以实数的取值范围是，故C选项错误； 对于选项D：设点坐标为，所以，即， 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得：，与已知圆相减可得， 消去可得：，即， 由可得， 所以直线经过定点，故选项D正确. 故选：BD 11-4【巩固】 【正确答案】 ABC 【试题解析】 分析: 根据直线的截距可判断A；对选项B特殊情况不成立；利用到圆心的距离大于圆的半径,列出关于的不等式，同时考虑大于0 ,两不等式求出公共解集即可得到的取值范围可判断C；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项. 详解: 对于A，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项不正确. 对于B，两点式使用的前提是，所以 1/100 学科网（北京）股份有限公司 B选项不正确； 对于C，把圆的方程化为标准方程得：， ∴圆心坐标为(-1,2)，半径， 则点到圆心的距离， 因为点在圆外时， 过点总可以向圆作两条切线， ∴即，且，解得：，所以C选项不正确； 对于D，由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 由图可知，直线与曲线有两个不同的交点， 则实数的取值范围是，所以D选项正确. 故选：ABC. 11-5【提升】 【正确答案】 ABD 【试题解析】 分析: 利用圆心到直线的距离，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用判断C；利用直线与轴的交点，判断D. 详解: A. 若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为，即，故A正确； B.弦长，当时，，故B正确； C.联立方程，，得， ，当时， 整理为恒成立，所以直线与圆相交，故C错误； D.直线与轴的交点是，当时，在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确. 故选：ABD 11-6【提升】 【正确答案】 ACD 【试题解析】 分析: 根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 详解: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 A选项，， 由于三点共线，所以共线， 所以，A选项正确. B选项，，结合图象可知，直线的斜率的取值范围为， 所以B选项错误. C选项，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于， C选项正确. D选项，当直线过原点时，设直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，直线方程为或. 当直线不过原点时，设直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或（舍去）. 直线方程为， 综上所述，与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，D选项正确. 故选：ACD 12-1【基础】 【正确答案】 ACD 【试题解析】 分析: 通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断. 详解: 由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得. 对于A：，故A正确； 对于B：由，，所以不可能在在上单调递减，故B错误； 对于C： 为偶函数，关于轴对称，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确； 对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD 12-2【基础】 【正确答案】 AD 【试题解析】 分析: 结合函数奇偶性的性质，可得，联立方程组可求出，的解析式，求出，根据的单调性可得结果. 详解: ∵函数，分别为上的奇函数、偶函数， 则， ， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 又∵，…① ∴， ∴，…② 由①②得，， 故A正确，B错误； ∴，且为增函数， ∴，故D正确， 故选：AD. 点睛: 本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程，是解答本题的关键，属于中档题. 12-3【巩固】 【正确答案】 ACD 【试题解析】 分析: 由题意可得，把2代入求得可判断A；当时，，时，，由此可知 ，进而可判断BCD 详解: 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 解得， 对于A：，故A正确； 由， 当时，， 所以， 当时，，， 所以， 又， 则有， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：由B可知，故D正确； 故选：ACD 12-4【巩固】 【正确答案】 ABC 【试题解析】 分析: 函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，可得f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，解出f（x），g（x），对选项一一判定即可得出． 详解: ∵函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x， ∴f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立， 可得g（x），f（x）． 对A：f（1），g（2）， ∴0＜f（1）＜g（2）．故A正确； 1/100 学科网（北京）股份有限公司 对B：，故B正确； 对C：=，故C正确； 对D：f（2x），2， ∴f（2x）2，故D错误； 故选ABC． 点睛: 本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12-5【提升】 【正确答案】 AB 【试题解析】 分析: A．将问题转化为方程仅有一个解，然后构造新函数求解出的值；B．根据导数的几何意义求解出切线方程，然后判断是否平行；C．分析的单调性，直接求解出最大值并判断选项是否正确；D．对求导，利用导数分析单调性并判断选项是否正确. 详解: A．函数有唯一零点方程有唯一解， 设，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又因为，且方程有唯一解， 所以，所以，故A 正确； B．因为，所以， 所以，且，所以切线方程为：， 所以切线与平行，故B正确； C．记，在上单调递增， 所以，故C错误； D．记，， 所以在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误. 故选：AB. 点睛: 本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解切线方程、利用导数分析函数的单调性和最值以及函数零点和方程根的转化，对学生综合分析问题的能力要求很高，难度较难. 12-6【提升】 【正确答案】 BC 【试题解析】 分析: 先求出的表达式，利用极限思想和零点存在定理判定选项A错误，再求导，利用导数的符号变化得到函数的极值和最值，进而判定零点是否存在. 详解: 由题意，得， （）， 对于A：因为，，， 所以不存在，使， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 即选项A错误； 求导，得： 对于B：当使时，， 令，得或， 即或 由和的图象得， 所以， 则当时，，当时，， 所以， 所以在定义域内有唯一零点， 即选项B正确； 对于C：当时，则， 所以函数无零点， 即选项C正确； 对于D: 当时，恒成立， 所以函数无零点， 即选项D错误. 故选：BC. 13-1【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 由圆心坐标可得c，然后由计算可得. 详解: 因为双曲线的右焦点与圆 的圆心重合， 所以由圆的圆心，得双曲线中c=4， 所以. 故答案为：. 13-2【基础】 【正确答案】 4 【试题解析】 分析: 由圆方程化为标准方程得出圆心坐标，从而得双曲线的一条渐近线方程，由双曲线的标准方程得渐近线，从而求得． 详解: 由题可知，，圆心为， 所以双曲线的一条渐近线方程，得，所以． 故答案为：4． 13-3【巩固】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 由题可知圆的圆心在双曲线的一条渐近线上，据此即可求出m. 详解: 由题可知圆的圆心在双曲线的一条渐近线上. ，故圆的圆心为(1,－2)， (1,－2)在第四象限，故(1,－2)在双曲线的渐近线上， ∴，解得m＝. 故答案为：. 13-4【巩固】 【正确答案】 或 【试题解析】 分析: 写出双曲线渐近线的方程和圆的半径及圆心坐标，再根据圆心到渐近线的距离等于半径列方程即可求得b的值. 详解: 根据题意，圆心坐标为(1，2)，半径 双曲线的渐近线方程为： 或 或 ，计算得： 或 1/100 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：或. 13-5【提升】 【正确答案】 2 【试题解析】 分析: 求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解. 详解: 解：由题得圆的圆心为， 双曲线的渐近线方程为，即. 所以圆心到双曲线渐近线的距离为. 故答案为：2 13-6【提升】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 根据题意，双曲线的渐近线过圆心，进而待定系数得，再根据离心率公式计算即可得答案. 详解: 解：由题意可知，圆的圆心在的一条渐近线上，又的渐近线方程为，所以，即， 所以的离心率． 故答案为： 14-1【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 先找到与的关系，再利用诱导公式与倍角公式求解即可. 详解: 因为，所以. 故答案为：. 14-2【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 分析可得，分、两种情况讨论，在相应等式两边平方可求得的值. 详解: 因为，则， 所以，， 当时，等式两边平方可得，可得； 当时，等式两边平方可得，可得. 综上所述，. 故答案为：. 14-3【巩固】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 结合已知条件，利用诱导公式和二倍角公式即可求解. 详解: 由诱导公式可知， ， 因为， 所以. 故答案为：. 14-4【巩固】 【正确答案】 或 【试题解析】 分析: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 先由的范围及的值确定的范围，再利用三角函数基本关系式中的平方关系求得，从而利用正弦的倍角求得. 详解: 因为​，所以​，又​， 因为在上单调递增，所以， 所以​是第一象限角，即​， 所以​， 所以​. 故答案为： 14-5【提升】 【正确答案】 -1 【试题解析】 分析: 利用诱导公式结合二倍角公式化简可得到或，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案. 详解: 因为，所以 ， 所以， 所以，即或, 当时， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 当时，即， 所以， 所以，则. 因为，所以，所以， 故不符合题意，应舍去， 综合以上， 故答案为：-1 14-6【提升】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式即可求解. 详解: ， 两边平方，可得，可得， ． 故答案为： 15-1【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 根据判断出数列是等比数列，进而求得. 详解: 依题意，， 当时，， 当时，，， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 两式相减并化简得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 15-2【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 当时，，由，得当时，，从而可得， 而，所以数列从第2项起成等比数列，从而可求出 详解: 解：当时，， 由，得当时，， 所以，即， 因为，所以数列从第2项起是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以， 故答案为：2049 15-3【巩固】 【正确答案】 93 【试题解析】 分析: 由已知可求出，当时，由，得，两式相减可得，从而可得数列从第2项起是以2为公比的等比数列，进而可求得结果 详解: 由，，得， 当时，由，得， 所以， 所以， 因为， 所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列， 所以， 故答案为：93 15-4【巩固】 【正确答案】 或 【试题解析】 分析: 由，得 ，化简后可得从第2项起，是以为公比，为首项的等比数列，从而可求出的值 详解: 由，得 ， 所以， 所以， 因为， 所以从第2项起，是以为公比，为首项的等比数列， 所以 ， 故答案为： 1/100 学科网（北京）股份有限公司 15-5【提升】 【正确答案】 7 【试题解析】 分析: 根据题意，构造正方形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及对数运算进行求解. 详解: 设外层正方形的边长为， 则其内接正方形的边长为， 设方格蜘蛛网对应正方形周长对应数列， 则，，故， 则的前项和， 根据题意，令，则， 两边取对数可得， 故， 故完整的正方形的个数最多为个. 故答案为：7. 15-6【提升】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 由已知两个式子相乘或相加得到数列和是等比数列，并写出通项公式，并代入求数列的通项公式，并求. 详解: ①，②， 两式相加可得， 数列是公比为2的等比数列，首项， ， 两式相乘可得， 数列是公比为2，首项的等比数列， ， ， ，即数列是首项为6，公比为3的等比数列， . 故答案为： 点睛: 本题考查数列的递推公式求通项公式，考查转化与计算能力，属于中档题型. 关键点点睛：本题的关键是对两个已知等式的变形，相加变形和相乘变形，根据等比数列的定义求等比数列的通项公式. 16-1【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 设函数在上的零点为，则由 ，则在直线 上，则可看作是到直线的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案 详解: 解：设函数在上的零点为，则， 所以点在直线上， 设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 所以，， 设，设， 则，所以在上单调递减， 所以， 所以即，所以的最小值为， 故答案为： 16-2【基础】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 先根据函数的新定义分别求出，，，然后再比较大小 详解: 由，得， 所以由题意得，解得， 由，得， 所以由题意得， 令，（），则， 所以在上递增， 因为，， 所以存在，使，所以， 由，得， 所以由题意得， 令，则， 令，则或， 当或时，，当，， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值为，极小值为， 因为，， 所以存在唯一零点，所以， 所以， 故答案为： 16-3【巩固】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 由因式分解可将问题转化为直线与有4个不同的交点，利用导数求解的单调性即可根据图象进行求解. 详解: 由得 , 由于，所以问题转化为和共有4个不同的交点， 记，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增， 故，又因此，当时，，当时，，故的图象如图所示， 要使为和共有4个不同的交点，则需要且， 解得 1/100 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： 点睛: 本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 16-4【巩固】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 根据题意得，，进而得，另一方面，令，根据导数研究函数单调性得在 上单调递增，由于， ，故 详解: 解：因为，， 所以根据题意得：，， 所以， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 由于，， 所以在上有零点，即 故. 故答案为：. 点睛: 本题考查函数新定义问题，解题的关键是用导数研究函数的零点，考查转化思维，是中档题. 16-5【提升】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 根据方程的根转化为函数的零点有3个，利用导数分析函数的单调性，需满足得出a的取值范围，再验证满足此条件时结合函数大致图象即可得解. 详解: 由已知得， 令， ， 令，则， 所以在递减，在递增， 所以， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 有三个实数根，即有3个零点， 则， 所以. 因为时，，时，， 所以有两个零点， 所以在递增，递减，递增， 时，，时，，如图， 又因为，所以有三个零点， 所以. 故答案为： 点睛: 关键点点睛：根据所给方程有3个根，转化为函数有3个零点，转化为函数的导数有2个零点，从而满足，再分析函数的大致图象即可得出满足条件的a的取值范围. 16-6【提升】 【正确答案】 【试题解析】 分析: 求出函数单调区间及极值，作出其大致图象，设，对t的取值分类讨论，即可确定k的取值范围. 详解: ，令，解得或，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 作出的大致函数图象如图所示： 令，则当或时，关于x的方程只有1解； 当时，关于x的方程有2解； 当时，关于x的方程有3解； 因为恰有四个零点， 所以关于t的方程在上有1解， 在上有1解， 显然不是方程的解， 所以关于t的方程在和上各有1解， 所以，解得，即. 故答案为： 点睛: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 本题主要考查根据方程零点的个数确定参数的取值范围，数形结合与分类讨论是解决此题的关键. 17-1【基础】 【正确答案】 1、 2、 【试题解析】 分析: （1）根据二倍角公式展开，得到，即可解得C； （2）有正弦定理解出A，求出b的值，即可求出三角形的面积. 由可得，， 显然，， ∴ 又 ∴ 由（1）知，， 又，有正弦定理可得，， ∴，为直角三角形， ∴ 17-2【基础】 【正确答案】 1、2 2、 【试题解析】 分析: （1）利用同角三角函数基本公式和诱导公式得到，，然后利用正弦定理解三角形即可； （2）利用诱导公式和和差公式得到，然后利用三角形面积公式求面积即可. 在中，因为，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得. 由得，， 由，得， 所以 ， 因此，的面积. 17-3【巩固】 【正确答案】 1、 2、 【试题解析】 分析: （1）利用正弦定理边化角得到 ，再利用两角和差公式以及诱导公式求得结果. （2）由（1）可知是以为直角的直角三角形，的面积,又因为，所以可得，即可得到的长，进而得到答案. 根据， 由正弦定理得， ∴，又∴， 即，又 ∴，∴. 设，由得，即， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 两边平方得，即， 可得.所以. 故的面积. 17-4【巩固】 【正确答案】 1、 2、 【试题解析】 分析: （1）根据三角恒等变换得，进而证明结论； （2）设为中点，设，，进而由余弦定理得，，再根据面积公式和二次函数性质求解即可； 证明：左边， ∴，又， ∴ 解：法一：（角化边）如图，设为中点，设，， 因为，所以， 所以，在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，， 所以，当，即时，有最大值， 所以， 的面积最大值为. 法二：（边化角） 由，，过点作，垂足为， 所以， 所以，，即， 又因为，即， 所以， 所以 所以的面积，当且仅当时，等号成立， 所以，的面积最大值为. 17-5【提升】 【正确答案】 1、 2、答案见解析 【试题解析】 分析: (1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根据正弦定理，余弦定理和面积公式即可求解. ∵，∴，即 由正弦定理得，，即， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，∴，又，∴，∴ 设外接圆半径为，则根据正弦定理得，， 若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且， 又，∴， 即， 又由余弦定理得，即，解得，∴； 若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即， 由余弦定理可得，即，∴， 即，∵，∴， ∴． 若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③. 17-6【提升】 【正确答案】 1、 2、 【试题解析】 分析: （1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案. （2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值. 如图，，设，，得 ，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得， 在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，， 四边形ABCD的面积为，得 . 当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为. 18-1【基础】 【正确答案】 1、 2、证明见解析 【试题解析】 分析: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 （1）选择条件①，则利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项与公差，即可得；选择条件②，利用前项和与通项的关系求解即可；选择条件③，利用等差数列的前项和公式与等比中项的概念列式求解首项与公差，即可得； （2）由（1）得，按照裂项求和即可证明不等式. 解：选择条件①：设等差数列的公差为d， 则，解得，故； 选择条件②：， 当时，，即， 当时，，也适合上式，故； 选择条件③：设等差数列的公差为，则， 解得、或、（不合题意），故． 证明：因为，所以， 故 ，得证. 18-2【基础】 【正确答案】 1、 2、 【试题解析】 分析: （1）根据等差数列的性质，设出相应的基本量，列出相应的方程即可求出； （2）利用裂项相消求和法进行求解即可. 方法1：选①和③ ，整理得，设等差数列的公差为，则有 ，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以， 方法2：选①和② ，，所以，，设等差数列的公差为，则有， 化简得，解得，，则， 方法3：选②和③， ，可得，，设等差数列的公差为，则有 ，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：. ， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 18-3【巩固】 【正确答案】 1、 2、证明见解析 【试题解析】 分析: （1）选择条件①或选择条件③，根据与的关系，得递推关系式，再求解数列的通项公式即可；选择条件②，根据条件得是隔项等差数列，按照等差数列的通项公式求解即可； （2）由（1）得，按照裂项求和之和即可证明不等式成立. 解：（1）选择① 当时，， ， 两式作差得：， 整理得， 所以为常数列，因此， 所以. 选择② 得， 两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为， 当时，，又，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综合得：； 选择③ 又，得. 当时，， 两式相减得：，即. 又因为，所以，故为公差为1的等差数列， 得. 证明：由（1）可得 所以 因为 所以 因此. 18-4【巩固】 【正确答案】 1、选择①②，都有； 2、证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）选择①，根据等差数列的通项公式，求得；再根据与之间的关系即可求得结果； 选择②，利用的关系消去，构造等差数列 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ，与①同理，即可求得结果； （2）根据（1）中所求求得，再利用裂项求和法求得，即可证明. 若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为 故，故； 当时，， 当时，，满足. 故的通项公式为； 若选择② 即，整理得： 故，即数列是首项为，公差为的等差数列， 与选择①相同，故的通项公式为. 根据（1）中所求可得：，则 故 又，故可得. 18-5【提升】 【正确答案】 1、； 2、；证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）根据与的关系结合等比数列的定义即得； （2）由题可得，，然后根据裂项相消法即得. 若选择条件①：因为， 当时，， 两式相减得， 所以当时，当n＝1时符合， ∴； 若选择条件②：因为， 当时， 两式相减得，， ∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴； 若选择条件③：∵， ∴时，， 两式相减得， 当n＝1时，，可得，， ∴时成立， ∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴； 由（1）可知， 则， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 所以， 因为， 所以各项均为正数， 所以， 又因为， 所以． 18-6【提升】 【正确答案】 1、， 2、见解析 【试题解析】 分析: （1）根据等差数列与等比数列的定义，由题意，建立方程组，可得答案； （2）若选①③，利用裂项相消法求和，若选②，利用错位相减法求和. 设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由已知得，则，解得， 所以，； 选①，则有 即. 选②，则有，设数列的前项和为， ，， 两式相减，， 解得. 选③，则由， 即. 19-1【基础】 【正确答案】 1、 2、P为中点 【试题解析】 分析: （1）由题意，建立空间直线坐标系，求解平面法向量，根据点面距向量计算公式，可得答案； （2）由（1）的空间直角坐标系，求解平面法向量以及直线方向向量，根据线面角与向量夹角的关系，结合二次函数的性质，可得答案. 在中，，为的中点，，即， 由直三棱柱的体积，则，解得， 以为原点，并分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 则，，，，， 由为的中点，则，由为的中点，则， 在平面中，取，，设该平面的法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为， 取，由点面距公式，可得到平面的距离. 由（1）可知：，，，，， 由，平面，则设，， 设，即，， 在平面内，取，，设其法向量， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量，取， 设直线与平面所成角为，则， 则 当时，P与B重合， 当时，， 令， 当时，即，P为中点时， 19-2【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、 【试题解析】 分析: （1）连接，，连接，即可得到，从而得证； （2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 证明：连接，，连接， 在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以， 平面，平面． 平面． 1/100 学科网（北京）股份有限公司 解：，，，，． 由直三棱柱中，底面，底面，，． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为； 解：设到平面的距离为，则； 19-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、； 3、点到平面的距离为. 【试题解析】 分析: (1)利用线面垂直判定定理证明平面，由此证明； (2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线 与平面 所成角的正弦值，列方程求的值； (3)利用向量方法求点到平面的距离. 因为四边形是矩形，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为平面平面 ，平面平面， 平面，， 所以平面，又， 所以两两相互垂直，以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，, 设，则， 所以，， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 设平面的法向量为，， 则，， 取，可得， 设直线 与平面的夹角为， 则， 所以， 化简可得，又， 所以，所以； 由(2) 平面的法向量为，，又， 设点到平面的距离为， 则. 所以点到平面的距离为. 19-4【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、1 【试题解析】 分析: （1）连接BD，交AC于点O，根据中位线的性质及线面平行的判断定理即可判断BF//平面APC； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面BCF的法向量，根据线面角公式即可求得直线DE与平面BCF所成角的正弦值； （3）求得平面APC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得E到平面APC的距离． 连接BD，交AC于点O， 又P，O分别为DF和DB的中点， 所以BF//PO， 因为PO⊂平面APC，BF⊄平面APC， 所以BF//平面APC； 直线AF⊥平面，AB⊂平面ABCD， 所以AF⊥AB， 由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， ， 所以，，， 设平面BCF的法向量，则 ， 令，则 设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ， 所以 ， 所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值； 1/100 学科网（北京）股份有限公司 由（2）， 设平面APC的法向量为，则， 令，则 所以平面APC的法向量， 则点E到平面APC的距离， 所以E到平面APC的距离1． 19-5【提升】 【正确答案】 1、； 2、证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）依题意得，建立空间直角坐标系，根据已知条件求得，利用空间向量求解平面的法向量，进而求解点到面的距离. （2）建立空间直角坐标系，设三点坐标，利用空间向量求解平面的法向量，进而求解三个夹角的正弦值，根据三个夹角正弦值的关系式求解即可. 依题意得，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 而，故，故， 则， 设平面的法向量为 则，故， 设到平面的距离为d，则. 按（1）方式建系，设， 则，故， 设平面的法向量为， 同（1）可得：， ， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ， 故 故为定值. 19-6【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、 【试题解析】 分析: 建立如图所示空间直角坐标系， （1）求出平面的法向量，利用证明即可； （2）由（1）知，平面的法向量为，再求出直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可求解. （3）根据，求出点，再求出平面的法向量为，在根据平面，得可求出，最后利用点到平面的距离公式即可求解. 取线段的中点，连结，因为平面平面，，所以平面，所以平面，因为，，所以是正三角形，又点是线段的中点，所以.可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，， 证明：，，设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 又，故， 因此平面. 依意，，由（I）知为平面的法向量. 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 依题意，设，， 所以，因此 ， 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， ，因为平面，所以 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ，解得， 所以， 设点到平面的距离为，， 则， 所以点到平面的距离为. 20-1【基础】 【正确答案】 1、； 2、证明见解析﹒ 【试题解析】 分析: (1)根据可求c，根据离心率可求a，再根据a、b、c关系可求b，从而可求C的方程； (2)设，.联立l方程和椭圆方程得根与系数的关系，联立AN方程与y=3求出E的坐标，验证即可证明B、M、E三点共线． 设()，由题意知，∴． ∵点，且，解得， ∴，， 因此C的方程为． 由题意可知，直线l的方程为． 由得， 设，，则，． ∵轴，∴，∴直线， 令，得． ∵轴，∴． ∴ ， ∴B，M，E三点共线． 20-2【基础】 【正确答案】 1、； 2、证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）根据离心率及参数关系求椭圆参数，写出椭圆方程； （2）设l为，，，联立椭圆方程结合韦达定理得，并写出直线AM的方程求坐标，应用两点式求并化简，即可证结论. 由题意知，，， 所以，则， 所以椭圆C的方程为． 由题知：l斜率不为零，设l为，，， 由得，，则，， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 所以， ∴，直线AM的方程为，则， ∴，， ∴ ，即， ∴N、B、Q三点共线． 20-3【巩固】 【正确答案】 1、 2、证明见解析 【试题解析】 分析: （1）根据题意结合求出，即可得出答案； （2）设，由，可得，求出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得点的坐标，再证明，即可得出结论. 解：由题意可知：， ， 椭圆C的方程为； 证明：设， 由于，因此，， 直线的斜率为， 直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 整理得：， 设， 代入直线的方程得， 直线的斜率为， 直线的斜率为， ， 所以三点共线． 20-4【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）定值为，证明见解析；（3），，三点共线，证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）首先根据题意得到，再解方程组即可. （2）设，，，再计算即可. （3）分别计算和，根据， 为公共点，即可证明，，三点共线. 详解: 1/100 学科网（北京）股份有限公司 （1）由题知：， 所以椭圆：. （2）由题知：，存在，且不为零，设，，， 则，即. . 所以直线与的斜率之积为定值. （3），，三点共线，证明如下： 设直线：，则直线：， 将代入直线，得：，， ，设直线：， ， 设，则，解得， 所以，即， 所以，， 所以， 为公共点，所以，，三点共线. 20-5【提升】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）；（3）8. 【试题解析】 分析: （1）根据椭圆和双曲线图像的对称性及向量的加法化简得到从而证明点P､Q､O三点共线；（2）由题意得直线PQ的方程为将直线方程分别于椭圆及双曲线联立得到点PQ的坐标，进而求得线段PQ的长度，再联立椭圆与双曲线的方程求得点B的坐标，根据点到直线的距离公式求得三角形的高，最后根据三角形的面积公式求解即可；（3）首先根据点P与点Q的线性关系求得λ2=，接着化简和，又由于k1k2=，k3k4=﹣，所以得到k12+k22+k32+k42的值. 详解: 解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点， 又因为， 所以，即 所以点P，Q，O三点共线. （2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直线PQ的方程为 联立，解得x=±，y=±， 所以P(，)， 同理，解得x=±，y=±， 解得Q(，)， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 则|PQ|=3﹣， 又因为a=2，b=， 联立，解得B(±2，0)， 所以点B到直线PQ的距离d=， 则. （3）因为，设，， 所以， 因为，所以 又，⇒， 因为QF1PF2， 所以|OF1|=λ|OF2|， 所以λ2=， 所以=•=， 所以 同理(k3+k4)2=4， 而k1k2=， 又x12=a2+y12， 所以k1k2=， 同理k3k4=﹣， 所以k12+k22+k32+k42=8. 点睛: (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20-6【提升】 【正确答案】 1、 2、 【试题解析】 分析: （1）根据椭圆的性质可得不可能同时过，，所以一定经过，，代入求得椭圆的方程即可； （2）设的方程为，，再联立椭圆的方程，求得韦达定理，再代入化简求值即可 依题意知椭圆不可能同时过，，所以一定经过，， 即， 显然满足，所以椭圆的方程为. ，，三点共线，设的方程为， 联立 ， ， ， ，， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 . 21-1【基础】 【正确答案】 1、有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关； 2、①；；② 方案二较好. 【试题解析】 分析: （1）根据列联表，计算，与临界值比较即可作出结论； （2）①分别按方案一、方案二，列出的可能取值并计算概率，再求期望即可； ②做差比较的大小，作出结论即可. 由题中数据，可知， 所以有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关； ① 方案一：的可能取值为，， 则， 所以； 方案二：由题意，的可能取值为， 则， ， 所以 . ② 因为， 所以， 所以方案二较好. 21-2【基础】 【正确答案】 （1）联表见解析；（2）有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”；（3）． 【试题解析】 分析: （1）由已知数据即可填写列联表； （2）计算可得，由此可得结论； （3）由二项分布概率公式可分别表示出，由此可得结论. 详解: （1）由已知数据可填写列联表如下： 中国人 外国人 总计 邮箱名称里有数字 邮箱名称里无数字 总计 （2）． 有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”． （3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中列联表可得： 中国人邮箱名称里含数字的概率为，外国人邮箱名称里含数字的概率为． 设“个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量，个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量”， 根据题意得：，， 则， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ， ． 21-3【巩固】 【正确答案】 （1）答案见解析；（2）12位居民． 【试题解析】 分析: (1)由分组数据结合分层抽样，求出抽取的人数中不超过8千步和超过8千步的人数，从而补充完整列联表，进而可计算，即可判断独立性. (2)求出每位居民步数超过8千米的概率，设步数超过8千米的最有可能是位居民，由独立事件概率求解得，从而可求出的范围，进而可求出的值. 详解: 解：（1）1000人中，步数不超过8千步的有400人，超过8千步有600人， 则抽取的人数中不超过8千步的有80人，超过8千步的有120人，列联表如下： 日行步数千步 日行步数千步 总计 40岁以上 40 80 120 40岁以下（含40岁） 40 40 80 总计 80 120 200 ∴， ∴有的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关． （2）每位居民步数超过8千米的概率为， 设步数超过8千米的最有可能是位居民， 则，解得：， ∵，∴，即最有可能是12为居民． 点睛: 关键点睛: 本题第二问的关键是理解什么是概率最大，结合独立事件概率的求法得到关于的不等式组，进行求解. 21-4【巩固】 【正确答案】 （1）列联表答案见解析，有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）. 【试题解析】 分析: （1）完成列联表，求出，从而有的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关. （2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望. （3）以样本的频率估计概率，积极响应的概率为，至少有2人持“积极响应态度”为事件，利用对立事件概率计算公式能求出至少有2人持“积极响应”态度的概率. 详解: 解：（1）完成列联表，得： 积极响应 不积极响应 合计 男 36 12 48 女 12 12 24 合计 48 24 72 ∴. ∴有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关. （2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 则的可能取值为0，1，2， ， ， ， ∴的分布列为： 0 1 2 数学期望. （3）以样本的频率估计概率，积极响应的概率为， 至少有2人持“积极响应态度”为事件， 在该市的70岁以上人群中任取4人， 至少有2人持“积极响应”态度的概率为： . 点睛: 关键点点睛：本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列､数学期望､概率的求法，考查超几何分布､对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，解题的关键是正确理解题意完成列联表，属于中档题. 21-5【提升】 【正确答案】 1、有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关 2、 3、 【试题解析】 分析: （1）计算卡方，与7.879比较后得到结论； （2）利用二项分布概率公式计算出答案； （3）表达出，求导后研究其单调性，从而确定p为何值时，最大. ∵， ∴有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关； 由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为， 设在随机抽取的4人中感染病毒的人数为X． 至少有2人感染病毒的为事件A， ， ， ， ， ， ， 则，令， 则（舍去），随着p的变化，，的变化如下表： p + 0 - 极大值 综上，当时，最大． 21-6【提升】 【正确答案】 （Ⅰ）列联表详见解析，有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（Ⅱ）分布列详见解析，期望为；（Ⅲ）． 【试题解析】 分析: （Ⅰ）根据所给数据列表，计算后比较临界值即可得出结论； （Ⅱ）根据超几何分布得出随机变量的概率，列出分 1/100 学科网（北京）股份有限公司 布列求期望即可； （Ⅲ）由互斥事件和的概率公式计算运营系统中任选一名客户流失的概率，从运营系统中任选4名客户流失人数服从二项分布 ,根据二项分布求解即可. 详解: （Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得列联表 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 180 80 260 对业务水平不满意人数 20 20 40 合计 200 100 300 经计算得， 所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关． （Ⅱ）的可能值为0，1，2． 则，，， 0 1 2 ． （Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为，只有一项满意的客户流失的概率为，对二者都不满意的客户流失的概率为． 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为， 故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为 ． 点睛: 本题主要考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件的和，二项分布，考查了推理能力与运算能力，属于较难题目. 22-1【基础】 【正确答案】 1、见解析； 2、. 【试题解析】 分析: (1)由是函数的两个零点可得，令,则有，则要证明，就只需证明即可，进而转证，设，利用导数，只需证明的最小值大于0即可； (2)由题意可得有唯一的解，求导，利用导数得在和上单调递增，在上单调递减，且极大值点为，极小值点为，进而得或，再分别求出的最大值和的最小值即可. 证明：因为是函数的两个零点，且， 所以，即有， ，即有， 则有， 令, 因为， 所以， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 则， 解得：，即 ， 则， 因为，所以， 所以， 即要证， 设， 则，则有， 令，则， 又，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以， 故在上单调递增， 又， 所以， 即， 则， 故有； 解：当时，， 令， 又因为曲线与曲线都有唯一的公共点， 即有唯一的解， 因为， 当，即时，， 则函数单调递增， 又趋于0时， 趋于，趋于时， 趋于， 则只有唯一的解，满足题意， 当，即时，令， 即得有两个解：，， 由韦达定理可得， 故两个解一个大于4，一个小于4， 即， 又因为，所以，则有， 当时，，函数单调递减， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数存在一个极大值和一个极小值，且极大值点为，极小值点为， 要使有唯一的解， 只需大于极大值或小于极小值， 即或， 当时， 即恒成立， 又， 即， 则 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ， 令， 求导可得， 令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以， 要使恒成立，则有； 当时， 即恒成立， 又， 即， 则， 又在上单调递减， 故在上无最小值， 又，则不存在使恒成立， 综上，实数的取值范围为. 点睛: (1)对于导数中的不等式的证明，经常采用转化思想进行证明，即证明一个函数的最值大(小)于一个常数即可； (2)对于通过恒成立求参数问题，经常转化为函数的最值与参数之间关系的问题，利用导数求出函数的最值即可得到解决. 22-2【基础】 【正确答案】 1、取值范围是 2、证明见解析 【试题解析】 分析: （1）利用导数求得的单调区间，由此求得的取值范围. （2）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，解得或导数证得不等式成立. 的定义域为， ， 在上单调递增，所以的取值范围是. 的定义域为， 有两个不相等的实数根， 令，由（1）知在上递增，则， 则有两个不相等的零点，， ，. 要证，只需证，即证， 即证， ， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 故只需证， 不妨设，令， 则只需证， 只需证， 令， ， 所以， 即当时，成立. 所以，即，所以. 点睛: 利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立. 22-3【巩固】 【正确答案】 1、； 2、①；②证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）将问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧最大值求参数范围； （2）①由题设有，构建，根据其单调性将问题化为有且仅有两个实根，令，利用导数研究单调性，根据零点个数求t范围，再结合零点存在性定理验证零点个数； ②设有，应用分析法将问题化为证，并利用导数证明不等式即可. 因为不等式对于恒成立，即对于恒成立 所以，令，则， 所以当时，递增；当时，递减； 即在处取得极大值也为最大值，从而. ①方程，即， 所以， 令，则， 因为单调递增，所以， 因为有且仅有两个实根， 所以有且仅有两个实根，即有且仅有两个实根， 令，则， 由（1）知：在上递增，在上递减， 而在上值域为，上值域为， 由有两个零点，则，即， 当时，，所以， 由零点存在定理知：在上存在唯一零点， 当时，令，则，故递减， 所以，即 1/100 学科网（北京）股份有限公司 ， 故， 令得：，即有，所以， 由零点存在定理知：在上存在唯一零点， 综上，有且仅有两个零点， 所以. ②因为有且仅有两个实根，不妨设， 所以，两式相除得， 令，解得， 要证，即证，即证，即证， 令，则对恒成立， 所以，证得. 点睛: 关键点点睛：第二问，①构造，并由其单调性有，问题化为有且仅有两个实根；②应用分析法将问题转化为求证. 22-4【巩固】 【正确答案】 1、， 2、①证明见解析，②成立，理由见解析 【试题解析】 分析: （1）求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出方程，解之即可； （2）①，由（1）求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数的最值，再根据方程有两个实数根，可得函数的最值的关系，即可得证； ②，分别求出当直线过，时和直线过，时割线方程，从而得结合①即可得出结论. 解：， 因为函数在处的切线方程为， 所以，， ∴，或，（舍）， 所以，； ①证明：由（1）可知，， 令， 则，令，得， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 即， 又，，，， 1/100 学科网（北京）股份有限公司 且，， ∴，使得，即，即， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以 ， ∵，∴， 令， 则 ， 所以函数在上递增， 故， 所以， 即， ∴； ②解：成立，理由如下： 当直线过，时割线方程为， 得， 当直线过，时割线方程为， 得， ∴. 点睛: 本题考查了导数得几何意义，考查了利用导数解决方程的根的问题，考查了不等式的证明问题，，考查了数据分析和处理能力，考查了转化思想，计算量比较大，属于难题. 22-5【提升】 【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为 2、①证明见解析；②证明见解析 【试题解析】 分析: （1）求解函数，利用导数求解函数的单调区间即可. （2）①证明不等式恒成立，通过构造函数，求函数的导数，利用导数求解函数的单调性及极值即可证明；②根据函数的单调性及极值点，数形结合判断方程有两个根的情况的取值范围及两根的取值范围，联立直线与，求解交点横坐标，则，转化不等式，构造函数，利用导数求解函数的最值即可证明. 解：函数的定义域为， 函数的导数，解得， 所以当时，此时，函数单调递减区间为， 所以当时，此时，函数单调递增区间为， 所以函数单调递减区间为，单调递增区 1/100 学科网（北京）股份有限公司 间为. 当时， ①要证不等式成立，即证明成立.即证明成立. 令 当时，此时， 当时，此时， 所以在单调递减，在单调递增 所以最小值为， 恒成立，即恒成立得证. ②由①得恒成立，即直线始终在曲线下方或有唯一切点， 又结合（1）可知单调递减区间为，单调递增区间为， 所以当时取最小值， 且当时，；当时，；当时，. 所以方程有两个实根，则，且. 由直线与联立解得交点的横坐标，显然 因此，要证，只要证即可 即证，即证即可 又因为，所以只要证 令恒成立 所以在单调递增，即 所以得证，原命题得证. 点睛: 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 22-6【提升】 【正确答案】 1、答案见解析； 2、(i)；(ii)证明见解析. 【试题解析】 分析: （1）利用导数研究的单调性，注意构造中间函数研究的符号. （2）（i）由题设有，令利用导数研究其最值并确定区间值域，进而求m范围； （ii）由题设有，令，构造并研究其单调性并得到值域，进而可得，结合（i）结论即可证. 1/100 学科网（北京）股份有限公司 的定义域为， 当时，. 设，则，由得：， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， ，即在上恒成立， 在上单调递减. （i）由得：，即. 设，则，由得：， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 有极大值也是最大值， 当时，，当时，. 要使有两个不同的实数根，则， 即，即实数m的取值范围为. （ii）证明：，则，即， 故. 设，由得， 设，则， 设，则， 在上单调递增，故，故， 在上单调递增，故， ，结合（i）有. 点睛: 关键点点睛：第二问，由问题转化为与有两个交点；利用比例的性质得，构造中间函数研究右侧值域，进而得到范围. 1/100 学科网（北京）股份有限公司 $