第三单元 第10讲 反比例函数（精讲Word）- 2023中考数学系统总复习

第10讲 反比例函数 一 知识回顾 知识点1：反比例函数的概念 定义：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成或的形式．自变量x的取值范围是的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 知识点2：反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质： 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x； 2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点． 反比例函数比例系数越大，图象离原点越远。 注意： （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 知识点3：反比例函数解析式的确定 1．待定系数法 确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 知识点4：反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 知识点5：反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 知识点6：反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 二 真题分层与拓展 命题点1 反比例函数图像与性质 例1.（2021遵义） 已知反比例函数y（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】C 【详解】解： 反比例函数y（k≠0）的图象分布在二，四象限， ＜ 一次函数y＝kx+2的图象经过一，二，四象限， 故选： 练习1.（2021黔西南州） 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，