第二单元 第6讲 一元二次方程及其应用（精讲Word）- 2023中考数学系统总复习

第6讲 一元二次方程及其应用 一知识回顾 知识点1：一元二次方程及其解法 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是 的 ，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式（又叫标准形式） ，其中叫做 ，是二次项的系数；叫做 ，是 ；叫 。，，是任意实数，且。 一元二次方程的解法 解法 适用情况 方程的根 直接开平方 ， ， 配方法 （，）→ 公式法 （，） 因式分解法 → ， 对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。 知识点2：一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）的判别式 方程 实数根 方程 实数根 方程 实数根 易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。 如：已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围. 知识点3：一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 若，是一元二次方程的两个实数根，那么， 知识点4：一元二次方程的应用 变化率问题 （1） （2） （3） 设为原来的量,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量,则；当为平均下降率,为下降后的量时, 利率问题 本息和=本金+利息 利息=本金×利率×期数 销售利润问题 毛利润=销售总额-进货总额 纯利润=销售总额-进货总额-其他费用 利润率=利润÷成本×100% 销售总额=售价×销量 进货总额=进价×进货数量 单循环问题 若共有个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛场 二真题分层与拓展 命题点点1 一元二次方程的解法 例1. （2022.贵阳）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 【答案】①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2． ①x2+2x−1=0； 移项得x2+2x=1， 配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2， 则x+1=±， ∴x1=-1+，x2=-1-； ②x2−3x=0； 因式分解得x(x-3)=0， 则x=0或x-3=0， 解得x1=0，x2=3； ③x2−4x=4； 配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8， 则x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-； ④x2−4=0． 因式分解得(x+2) (x-2)=0， 则x+2=0或x-2=0， 解得x1=-2，x2=2． 练习1. （2022天津）方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 练习2.（2021黔西南州） 三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____. 【答案】12 【详解】∵第三边长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 命题点点2 一元二次方程的判别式 例2.（2022黔东南州） 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，， ∴+=2， ∵， ∴=3， ∴·=-a=-3， ∴a=3， ∴． 故选B． 例3．（2021毕节）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0 【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0， 解得a＞﹣4且a≠0， 故选：D． 练习1. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2且m≠1 D. m≤2且m≠1 【答案】D 【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D． 练习2.（2020遵义） 已知，是方程的两根，则的值为（