专题06 第3课时 圆锥曲线的综合应用问题-【直击双1流·必刷题】2023高考数学二轮复习专题测

专题六　解析几何 第 3 课时 　 圆锥曲线的综合应用问题 A 组 　 真题专练 考向 1　曲线与轨迹方程问题 1. (2021·新高考卷 Ⅰ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F1( - 17 ,0),F2( 17 ,0), 点 M满足 | MF1 | -| MF2 | = 2. 记M的轨迹 为 C . (1) 求 C 的方程; (2) 设点 T 在直线 x = 1 2 上,过 T 的两条 直线分别交 C 于 A, B 两点和 P,Q 两点, 且 | TA |·| TB | = | TP |·| TQ | ,求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和. 2 . (2019·全国卷 Ⅱ) 已知点 A( - 2,0), B(2,0),动点M(x,y) 满足直线AM与BM的 斜率之积为- 1 2 .记 M 的轨迹为曲线 C. (1) 求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线; (2) 过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P 在第一象限,PE ⊥ x轴,垂足为E,连接QE并 延长交 C 于点 G. (ⅰ) 证明 △PQG 是直角三角形; (ⅱ) 求 △PQG 面积的最大值. 考向 2　圆锥曲线中的最值与范围问题 3. (2022·全国卷甲) 设抛物线 C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F,点 D(p,0),过 F 的直线交 C 于 M,N 两点. 当直线 MD 垂直于 x 轴 时, | MF | = 3. (1) 求 C 的方程. (2) 设直线MD,ND与 C的另一个交点分别 为 A,B,记直线 MN,AB 的倾斜角分别为 α, β. 当 α - β 取得最大值时, 求直线 AB 的 方程. 4. (2022·浙江) 如图,已知椭圆x 2 12 + y2 = 1. 设 A,B 是椭圆上异于 P(0,1) 的两点, 且点 Q(0, 1 2 ) 在线段 AB 上,直线 PA,PB 分别交 直线 y =- 1 2 x + 3 于 C,D 两点. (1) 求点 P 到椭圆上点的距离的最大值; (2) 求 | CD | 的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38 直击双 1流　数学 5. (2021·全国卷乙) 已知抛物线 C: x2 = 2py(p > 0) 的焦点为 F,且 F 与圆 M:x2 + (y + 4) 2 = 1 上点的距离的最小值为 4. (1) 求 p; (2) 若点 P 在 M 上,PA,PB 是 C 的两条切 线,A,B 是切点,求 △PAB 面积的最大值. 6. (2021·北京) 已知椭圆 E:x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 过点 A(0, - 2),且其四个顶点围成 四边形的面积为 4 5 . (1) 求椭圆 E 的标准方程; (2) 过点 P(0, - 3) 且斜率为 k 的直线 l 交 椭圆 E 于不同的两点 B,C,直线 AB,AC 交 y =- 3于点M,N,若| PM | +| PN | ≤ 15,求 k 的取值范围. 7. (2021·浙江) 如图,已知 F 是抛物线 y2 = 2px(p > 0) 的焦点,M 是抛物线的准线与 x 轴的交点,且| MF | = 2. (1) 求抛物线的方程; (2) 设过点 F的直线交抛物线于 A,B两点, 若斜率为2的直线 l与直线MA,MB,AB,x轴 依 次 交 于 点 P,Q,R,N, 且 满 足 | RN | 2 =| PN |·| QN | ,求直线 l 在 x 轴上 截距的取值范围. 8. (2020·江苏) 在平面直角坐标系 xOy中,已 知椭圆 E:x 2 4 + y 2 3 = 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2 ⊥ F1F2,直线 AF1 与椭圆 E相交于另一 点 B. (1) 求 △AF1F2 的周长; (2) 在 x轴上任取一点 P,直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q,求OP→·QP→的最小值; (3) 设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB 的面积分别为 S1,S2,若 S2 = 3S1,求点 M 的 坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋