专题04 第3课时立体几何与空间向量-【直击双1流·必刷题】2023高考数学二轮复习专题测

直击双 1流　数学 第 3 课时 　 立体几何与空间向量 A 组 　 真题专练 考向1　利用空间向量证明空间位置关系 1. (2019·天津) 如图,AE ⊥ 平面 ABCD, CF ∥ AE,AD ∥BC,AD⊥AB,AB = AD = 1, AE = BC = 2. (1) 求证 BF ∥ 平面 ADE; (2) 求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正 弦值; (3) 若二面角 E - BD - F的余弦值为 1 3 ,求 线段 CF 的长. 考向 2　利用空间向量求空间角 2. (2022·全国卷甲) 在四棱锥 P - ABCD 中, PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD =DC = CB = 1,AB = 2,DP = 3 . (1) 证明:BD ⊥ PA; (2) 求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值. 3. (2022·新高考卷Ⅰ)如图,直三棱柱ABC - A1B1C1 的体积为 4,△A1BC 的面积为 2 2 . (1) 求 A 到平面 A1BC 的距离; (2) 设 D 为 A1C 的中点,AA1 = AB, 平面 A1BC ⊥ 平面 ABB1A1,求二面角 A - BD - C 的正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 专题四　立体几何与空间向量 4. (2022·新高考卷 Ⅱ) 如图,PO 是三棱锥 P - ABC的高,PA = PB,AB⊥AC,E为PB的 中点. (1) 证明:OE ∥ 平面 PAC. (2) 若 ∠ABO = ∠CBO = 30°,PO = 3,PA = 5,求二面角 C - AE - B 的正弦值. 5. (2022·浙江卷) 如图,已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形,AB ∥ DC,DC ∥ EF,AB = 5, DC = 3,EF = 1,∠BAD = ∠CDE = 60°,二面 角 F - DC - B的平面角为 60°. 设M,N分别 为 AE,BC 的中点. (1) 证明:FN ⊥ AD. (2) 求直线 BM 与平面 ADE 所成角的 正弦值. 6. (2021·全国卷乙) 如图,四棱锥P - ABCD 的底面是矩形,PD ⊥底面ABCD,PD = DC = 1,M 为 BC 的中点,且 PB ⊥ AM. (1) 求 BC; (2) 求二面角 A - PM - B 的正弦值. 7. (2021·浙江)如图,在四棱锥P - ABCD中, 底面 ABCD 是平行四边形,∠ABC = 120°, AB = 1,BC = 4,PA = 15 ,M,N 分别为 BC, PC 的中点,PD ⊥ DC,PM ⊥ MD. (1) 证明:AB ⊥ PM. (2) 求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正 弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 直击双 1流　数学 考向 3　利用空间向量解决探索性问题 8. (2022·全国卷乙) 如图,四面体 ABCD 中, AD ⊥ CD,AD = CD,∠ADB = ∠BDC,E 为 AC 的中点. (1) 证明:平面 BED ⊥ 平面 ACD. (2) 设AB = BD = 2,∠ACB = 60°,点F在BD 上,当 △AFC 的面积最小时,求 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值. 9. (2021·全国卷甲) 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, 侧面 AA1B1B 为正方形, AB = BC = 2,E,F 分别为 AC 和 CC1 的中点,D 为 棱 A1B1 上的点,BF ⊥ A1B1 . (1) 证明:BF ⊥ DE. (2