解密04 函数及其性质（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密04讲：函数及其性质 【考点解密】 1．函数 函数 两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数记法 函数y＝f (x)，x∈A 2.函数的三要素 (1)定义域：x的取值范围； (2)值域：y的取值范围. (3)对应关系f：A→B. 3．相等函数：定义域、对应关系都一致. 4．函数的表示法：解析法、图象法和列表法． 5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 6．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 7．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 8．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I， 如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I， 如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 9．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． (4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)． 10．对称性 对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称． 【方法技巧】 1．求函数值域的一般方法： ①分离常数法；②配方法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法；⑥数形结合法；⑦导数法． 2．确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 3．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小． (2)求最值． (3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数． ①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较． ②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调． ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 4．利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求