第14讲 正弦定理-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第14讲 正弦定理 【学习目标】 1、会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题． 2、探究在任意三角形中， 边与其对角正弦的比值之间的关系． 【考点目录】 【基础知识】 知识点一、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点二、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点三、正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识点四：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若A为直角或钝角时： 知识点五：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【考点剖析】 考点一：正弦定理及辨析 例1．（2022·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理， ∴，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 例2．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，则，，又，则. 故选：C. 例3．（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（       ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦定理，即，解得. 故选：A 考点二：正弦定理解三角形 例4．（2022·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（    ） ①；②；③，；④，b＝2，． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【解析】对于①，则或，故①不满足题意；对于②，则，故②满足题意；对于③，，则，，，∵，∴，∴，则角被唯一确定，故③满足题意；对于④，，，∵，∴如图所示，角不唯一，故④不满足题意． 故选：B． 例5．（2022·全国·高一课时练习）在中，若，，，则角的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】，，， ， ， 或， 或. 故选：D 例6．（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）在△ABC中，D是边BC上的一点，，，，则（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】 如图所示,在中，，， 所以，由正弦定理知 ， 设，， 所以 设， 在中，由正弦定理得： ，即，解得. 故选：B. 考点三：三角形解的个数问题 例7．（2022·全国·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ） A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得， 得， 因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个. 故选：C. 例8．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）在中，已知，则满足条件的三角形（    ） A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，又 所以，所以， 因为，所以 ,又 所以或 ∴满足条件的