第12讲 几个三角恒等式-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第12讲 几个三角恒等式 【学习目标】 例1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用． 例2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心． 【考点目录】 考点一：降幂公式及其应用 考点二：辅助角公式 考点三：三角恒等变换的化简问题 考点四：给角求值问题 考点五：给值求值问题 考点六：给值求角问题 考点七：三角恒等式的证明 【基础知识】 知识点一：辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 知识点二：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 知识点三：积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 知识点十一：和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 注意 1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． 2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． 3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． 4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 【考点剖析】 考点一：降幂公式及其应用 例3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即，，所以，. 故选：D． 例4．（2022·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，， 所以最小正周期为. 故选：B 例5．（2022·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，， 故选：A. 考点二：辅助角公式 例6．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 则，因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：A. 例7．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，， 根据二倍角公式，得，又， 因为，所以，故 故选：A 例8．（2022·四川成都·高一期末（理））已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， 即，即，所以. 故选：D. 考点三：三角恒等变换的化简问题 例9．（2022·上海市陆行中学高一期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最小值及取到最小值时的值. 【解析】（1）， 所以函数的最小正周期； （2）当，即时，. 例10．（2022·上海市控江中学高一期末）. (1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数在区间上的值域. 【解析】（1） . 所以的最小正周期. （2）由于， 所以， 所以在区间上的值域为. 例11．（2022·浙江·高一期中）已知函数 (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)当时，，求. 【解析】（1）因为 ， 所以的最小正周期为， 由， 得； 所以单调递增区间为. （2）因为， 所以，即， 又，则， 又，则， 那么， 从而 . 考点四：给角求值问题 例12．（2022·全国·高一）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 例13．（2022·江苏·吴县中学高一期中）计算：（       ） A． B． C． D．