第11讲 二倍角的三角函数-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第11讲 二倍角的三角函数 【学习目标】 1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础， 推导二倍角正弦、余弦和正切公式， 理解推导过程， 掌握其应用． 2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导， 体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法． 【考点目录】 考点一：二倍角的正弦公式 考点二：二倍角的余弦公式 考点三：二倍角的正切公式 【基础知识】 知识点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立； （2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：； 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 知识点二：二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 知识点三：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【考点剖析】 考点一：二倍角的正弦公式 例1．（2022·全国·高一课时练习）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故，所以，，且，即. 所以，所以. 故选：A. 例2．（2022·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是第二象限角，且，则， 因此，. 故选：B. 例3．（2022·安徽池州·高一期末）若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【解析】因为，所以，即，故或，当时，；当时，显然，此时.所以或 故选：D 考点二：二倍角的余弦公式 例4．（2022·江西省丰城中学高一期中）若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， 所以， 故选：C. 例5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， ， 因为， 所以， 故选：A 例6．（2022·河北保定·高一阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，因此， 故选：A 考点三：二倍角的正切公式 例7．（2022·江苏苏州·高一期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：，整理得，即 ∴ 故选：C． 例8．（2022·云南昆明·高一期末）已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，为第二象限角，则， 所以，，因此，. 故选：D. 例9．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：C. 例10．（2022·广东佛山·高一期末）若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 【真题演练】 1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 2．（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 3．（2021·全国·高考真题（文））（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， . 故选：D. 4．（2021·全国·高考真题（文））若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 5．（2021·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 6．（2020·全国·高考真题（理））已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 7．（2019·全国·高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sin