第10讲 两角和与差的三角函数-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第10讲 两角和与差的三角函数 【学习目标】 1、能够推导两角差的余弦公式。 2、能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式。 3、能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明。 【考点目录】 考点一：两角和与差的正（余）弦公式 考点二：两角和与差的正切公式 考点三：给角求值 考点四：给值求值 考点五：给值求角 考点六：利用两角和与差的余弦进行证明 【基础知识】 知识点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； （3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； （4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则． （5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同． 知识点三：两角和与差的正切函数 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【考点剖析】 考点一：两角和与差的正（余）弦公式 例1．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C 例2．（2022·江西九江·高一期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以（1）， 因为，所以（2）， （1）+（2）得， ∴. 故选：A． 例3．（2022·山东临沂·高一期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】； ； 原式 . 故选：C 考点二：两角和与差的正切公式 例4．（2022·甘肃兰州·高一期末）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 例5．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，. 故选：B. 考点三：给角求值 例6．（2022·全国·高一课时练习）的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】① ② 得： ． 故选：D 例7．（2022·全国·高一课时练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式 . 故选：C. 考点四：给值求值 例8．（2022·全国·高一课时练习）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 于是， 从而． 故选：B 例9．（2022·全国·高一课时练习）已知，，且，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】B 【解析】因为，, 所以，, 因为，所以, 因为，所以, 所以 , 故选：B 考点五：给值求角 例10．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】、是方程的两个根， ，， ，，即、,， 则， 则， 故选：B． 例11．（2022·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ， 而，