专题1 第4讲 解三角形-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（新教材）

第一部分、攻克六大堡垒 第4讲 解三角形 常X考X考X点X清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理 (1)内容：a b sin A sin B sin C =2R(R为 △ABC外接圆半径). 注：当a≤b时无解. (2)变形形式 2.三角形中常用的结论 Da=2Rsin A,6=2Rsin B,c=2Rsin C; 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, b,c,常见的结论有： ②sinA=录sinB录mC=录： (1)A+B+C=π； 3a:b:c=sin A:sin B:sin C; (2)在△ABC中，大角对大边，大边对大角， a+b+c 如：a>b台A>B曰sinA>sinB; ④sin Asin B千sin C-sin A-2R. a (3)在斜△ABC中，tanA+tanB+tanC= 2.余弦定理 tan Atan B·tanC; (1)内容：a2=b2+c2-2 bccos A;b2=c2+a2 (4)有关三角形内角的常用三角恒等式： -2cacos B;c2=a2+62-2abcos C. sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; (2)变形形式 b2+c2-a mA-B)=-mCA-B≠2)：nA士5 cos A= 2bc a:cos B=c'ta 2ca -cos C C -cos A十BsinC =a2+b-c2 ;cos 2 -sin 2' 2ab (5)三角形中的射影定理：a=bcos C十ccos B, 考点二 解三角形及其应用 b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A. 1.已知两边及一边对角解三角形，如在△ABC (6)sin15°=6-V2 4 cos15°=6+2 4 中，已知a,b和A. tan15°=2-3. (1)若利用余弦定理求边长，实质是解一元二 3.三角形的面积公式 次方程，解出后可根据已知条件对方程的根 设△ABC的三边为a,b,c所对的三个内角 进行取舍 分别为A,B,C,其面积为S,△ABC的外接 (2)用正弦定理解三角形时，会出现如下 圆半径为R,内切圆半径为r 情形： ①当A为锐角时，如图，解的个数分别为一 1)S= 2ah(h为BC边上的高)： 解，两，一解. (2)S=1 ubsin C-ucsin B 2bcsin A: (3)S=2R2sin Asin BsinC; (4)S-abc 4R 注：当a<bsin A时无解. (5)S-/P(p-aXp-b(p-e(p-j(a+b+). ②当A为钝角或直角时，如图，此时只有 个解 (6s=ra+6+e. 10 三角函数与解三角形《专题一 重要技能拓展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法一 利用正、余弦定理解三角形 (2)(2021·新高考全国卷I)记△ABC是内 角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=ac, 1.已知两角A、B与一边a,由A十B十C=π及 点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. sin A sin Bsin C,求出角C,b、c a b 2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2 2bc·cosA先求出a,再由正弦定理求出角 B、C 3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、 B、C. ①证明：BD=b: 4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由 ②若AD=2DC,求cos∠ABC. sin Asin B可求出另一边b的对角B,由C a b =x-(A+B)可求出C,再由AsiC可 求出，面通过不B求B时，可能有 一解、两解或无解. [例1](1)(2022·全国乙卷)记△ABC的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). ①若A=2B,求C: ②证明：2a2=b2+c2. [规律总结] 求解此类问题的突破口：一是正确分析已知等式中 的边角关系，合理地设计“边往角化”还是“角往边 化”，活用正弦定理、余弦定理；二是求角的值时应注 意三角形对角的取值范围的限制；三是熟记两角和、 差的三角公式 当涉及边的平方关系或角的正弦平方关系，一般用 余弦定理转化； 当涉及边的一次关系时，一般用正弦定理转化；当涉 及三角关系时，一般联想A十B十C=π，来减“元”. [对点训练] (1)(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B=60°， AB=2,M是BC的中点，AM=2√3，则AC ,cos∠MAC= 11 第一部分>攻克六大堡垒 (2)(2020·新高考全国卷I)在①ac=√3，[例2]△ABC的内角A,B,C的对边分别为 ②csin A=3,③c=√3b这三个条件中任选 a6c,已知co(5+A+