精品解析：湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题

长沙市一中2023届高三月考试卷（四） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，全集，则的所有子集个数（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，点满足，记，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（ ）立方米 A. B. C. D. 6. 已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 11. 已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知偶函数在R上可导，，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________. 14. 若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是___________. 15. 已知点是椭圆的左焦点，过原点作斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______. 16. 设函数的图像与的图像有公共点，且在公共点处切线方程相同，则实数的最大值为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列的前项和满足：. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D是BC上的点，AD平分. （1）若，，，求的值； （2）若为锐角三角形，请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 如图，点在内，是三棱锥高，且．是边长为的正三角形，,为中点. （1）证明：点在上. （2）点是棱上一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值. 20. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程. （2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 21. 某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为． （1）证明：在的概率分布中，最大． （2）对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场