专题4.2 角的旋转问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题4.2 角的旋转问题 【典例1】已知如图1，∠AOB=40° (1)若∠AOC=∠BOC，则∠BOC= ; (2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM， 求4∠AON+∠COM的值； (3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+ ∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）． 【思路点拨】 （1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=∠BOC得到∠BOC=∠AOB；②OC在∠AOB外部时，由∠AOC=∠BOC得到∠BOC=∠AOB． （2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值； （3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果． 【解题过程】 解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图， ∵∠AOC=∠BOC， ∴∠BOC=∠AOB=×40°=30°， ②OC在∠AOB外部时，如下图， ∠AOC=∠BOC， ∴∠BOC=∠AOB=×40°=60°， 综上所述：∠BOC=30°或60°； 故答案为：30°或60°． （2）证明：设∠AON=x° ， 则∠CON=（20-x）°， ∠NOM=3∠CON=(60-3x）°， ∠COM=(80-4x）° ， 所以4∠AON+∠COM=80°． （3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论： 第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图， 射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°， ∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°， ∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM， ∴∠CON=∠COM， ∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-∠COM=20°-（60°-5t°）=5°+t°， ∴4∠AON+∠BOM=4（5°+t°）+5t°=20°+10t°， ∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值． 第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图， ∵∠MOB=5t°， ∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°， ∵∠CON=∠COM， ∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+∠COM=20°+（5t°-60°）=5°+t°， ∴4∠AON+∠BOM=4（5°+t°）+5t°=10t°+20°， ∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值． 第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图， 由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°， ∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM， ∴∠AON=∠CON+∠COA=∠COM+∠COA=（5t°-60°）+20°=5°+t°， ∴4∠AON+∠BOM=4（5°+t°）+360°-5t°=380°， ∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°； 第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图， 由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°， ∴∠AON=∠CON-∠COA=∠COM-∠COA=（420°-5t°）-20°=85°-t°， ∴4∠AON+∠BOM=4（85°-t°）+360°-5t°=700°-10t°， ∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值； 第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图， 由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°， ∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-∠COM=20°-（420°-5t°）=t°-85°， ∴4∠AON+∠BOM=4（t°-85°）+360°-5t°=20°， ∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°． 综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20