第09讲 向量应用-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第09讲 向量应用 【学习目标】 1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题． 2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题． 【考点目录】 考点一：用向量证明线段垂直 考点二：用向量解决夹角问题 考点三：用向量解决线段的长度问题 考点四：向量在几何中的应用 考点五：向量在物理中的应用 【基础知识】 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）平行问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【考点剖析】 考点一：用向量证明线段垂直 例1．（2022·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 【解析】（1）因为点是的中点，所以. 因为，,所以. 所以，. （2）由（1）可得： ，. 因为， 所以， 所以. 例2．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 【解析】 因为，所以，即，故. 考点二：用向量解决夹角问题 例3．（2022·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，． 【解析】设，，取为基底， 且，，，为向量与的夹角． ∵为线段上一点， ∴可设， ∴， 而． ∴， ，， ∴， 所以或，又， 所以， ∴当为线段的一个三等分点（靠近点）时，． 例4．（2022·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 【解析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示， 由题意知：， 故. 考点三：用向量解决线段的长度问题 例5．（2022·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【解析】（1）设，， 则． ．故． （2）因为 ． 所以 例6．（2022·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. 【解析】证明:不妨设，，则，， ，，得① 同理②， ①②得： 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 得证. 考点四：向量在几何中的应用 例7．（2022·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形. 【解析】证明：因为， 故，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形. 又，所以，故以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形. 例8．（2022·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，