专题10 解三角形问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题 10 解三角形问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 2.（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1．正弦定理或余弦定理独立命题； 2．正弦定理与余弦定理综合命题； 3．与三角函数的变换结合命题； 4．考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何、解析几何等结合考查.． （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 正弦定理的应用 【核心知识】 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 【典例分析】 典例1.（2022·西藏·日喀则市江孜高级中学高三期中）已知中，，，则B等于（    ） A． B． C．或 D．或 典例2.（2021·浙江省义乌中学高三阶段练习）在 中，已知，且边上的高为，则______；______． 典例3.（2019·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 【规律方法】 1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 考向二 余弦定理的应用 【核心知识】 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 【典例分析】 典例4.（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________. 典例5.（2020·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 典例6.（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【总结提升】 利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 考向三 三角形中边角计算 【核心知识】 1. 三角恒等变换公式 2. 正弦定理 3. 余弦定理 【典例分析】 典例7.（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（理））在中，已知． (1)求的大小； (2)若，求cosB和a的值． 典例8.（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 典例9. （2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【规律方法】 考向四 三角形面积、周长问题 【核心知识】 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 【典例分析】 典例11.（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 典例12.（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 典例13.（2021·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）模拟预测（文））在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 考向五 三角形范围和最值问题 【核心知识】 1. 辅助角公式 2. 均值不等式 【典例分析】 典例14. （2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文）