专题07 导数中的恒成立与能成立问题-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题07 导数中的恒成立与能成立问题 恒成立与能成立（存在性）问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，这类问题既含自变量又含参变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点。解决这类问题的关键是等价转化，通过化归为常见不等式的解法或利用函数求其最值等等来处理。其常用方法主要有：利用分离参数法、数形结合法、最值法、构造法、一元二次方程根的判别式、更换主元法等策略。本专题就导数小题中的单变量（多变量）恒成立与能成立问题和大家进行分享和交流。 一、热点题型归纳 题型1.分离参数法 题型2.切线法 题型3.数形结合法 题型4.分类讨论法 题型5.主参换位法 题型6.判别式法 题型7.等价转化法 题型8.双变量：转化为 f (x, k)min c( f (x, k)max c), x [a,b]类型 题型9.双变量：以静制动，变量依次固定转化 题型10.双变量：分离后两侧同结构，可构造新函数 题型11.双变量：分离后转化为两函数最值问题 题型12.双变量：齐次化或整体化构造 题型13.多变量转化为单变量问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 单变量恒成立问题处理策略： 1）若能完全分类变量，则构造函数，求其最值；若区间单调，临界点无意义，可用洛必达法则； 2）若只能部分分离，可用切线法； 3）若不能分类，也可采用数形结合； 4）若不能分类，分类讨论一般都能解决； 5）若不能分类，也可以变换主元，简化运算； 6）若不能分类，若能转化为二次不等式，也可使用判别式法； 7）若函数结构过于复杂上述方法都不合适也可用等价转化法，转化能用上述六种方法解决即可。 恒成立（能成立）问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在平时的训练中不断领悟和总结，在解决此类问题的能力上得到改善和提高。 【题型1】分离参数法 【解题技巧】 1）利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最小）值；若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”；③解不等式(或) ,得的取值范 2)重要结论 ≥f(x)恒成立⇔≥f(x)max；≤f(x)恒成立⇔≤f(x)min ； ≥f(x)能成立⇔≥f(x)min；≤f(x)能成立⇔≤f(x)max。 3）参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法. （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。 【典例分析】 1.（2022广西高三摸底）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的最小值，只需使成立即可． 【详解】当时，，根据二次函数的性质可知，当时，有最小值； 当时，，由得 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为，则 若存在，使得成立，则 所以，解得故选：A． 2.（2022·广东·高三模拟）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将等价转化为在上恒成立， 令，则，令， 则，即在上为增函数， 则，所以在恒成立，则在单调递增，则， 由洛必达法则，得，所以实数的取值范围是；故选C. 点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，往往是先合理构造函数（作差、作商、转化等），将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值而本题中要用到二次求导和洛必达法则，是本题的难点. 【变式演练】 1.（2022·重庆·高三月考）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】最大值,因为当时 令 因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选C. 2.（2023.山西高三期中）若对恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将条件对恒成立转化为对有恒成立，令，并求导，再令，利用一阶导函数与二阶导函数一起分析得到，进而表示在单调递增，则，由洛必达法则求得，则由构建不等式，解得答案. 【详解】将条件对恒成立转化为对有恒成立 令，则 令，则，，对