5.1导数的概念（第1课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 5.1导数的概念（第1课时） 1 初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述分析 ， 也能够顺利解决形状规则物体的测量问题 ． 然而 ， 人类在实际生活中面临的问题往往更为复杂 ． 例如 ， 运动中速度在不断变化 ， 图形的边界不再是规则的 ， 等等 ． 要处理这一类问题 ， 本 质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具 ． 这是初等数学所缺乏的 ， 需要用到高等数学特别是微积分的知识 ． 但是 ， 系统学习高等数学的内容不是高中课程所能承担的任务 ． 本章用比较直观和粗略的方式引入微积分中一个最基本的概念 ——— 导数 ， 为我们研究函数性质提供了一个工具 ， 从而可以解决变速运动等现实问题 由于知识基础不足或者可能产生的理解困难 ， 本章某些公式与定理没有给出证明 ． 我们仅仅要求同学们初步了解这些公式 、 定理的用途 ，从而对导数的基本思想有所认识和体会 ． 更深入的学习将在未来的大学课程中继续. 在本节的学习中 ， 我们将利用运动中的平均速度趋近于瞬时 速度 ， 利用曲线的割线趋近于它的切线 ， 从而初步认识导数这一刻画函数瞬时变化率的工具 ． １ 导数的概念 当我们乘坐高铁时 ， 常常会在车厢内看到如图 ５ -１- １ 所示的列车信息显示屏 ． 如何理解图中 “ 速度 　３０７ｋｍ ／ ｈ ” 当物体作匀速运动时，运动的速度v是运动距离s除以运动 时间t，即 但是，如果一个变速运动的物体在时间段t内的 运动距离是s，同样的公式给出的只能是这段运动过程中运动物体 的平均速度 平均速度难以准确地描述一个变速运动过程．一个自然的想 法是把整个运动时间分割成若干个时间段，求每个时间段的平均 速度．可以想象，随着时间的分割越来越精细，分段的平均速度对整个运动的描述会越来越精确． 以自由落体运动为例，物体下落的距离S（单位：ｍ）与时间t（单位：ｓ）满足函数关系 其中g是重力加速度．若近似地取 则有 考虑从第１秒到第３秒（用区间记号记为［１，３］）时间段里的自由落体运动． 它的平均速度是 如果把时间分成［１，２］与［２，３］两个时间段，则在这两个时间段中自由落体的平均速度分别是 与 如果以０.５秒为间隔把［１，３］分为４个时间段，可以得出４个时间段内的平均速度分别是 １２．５（ｍ／ｓ）、１７．５（ｍ／ｓ）、２２．５（ｍ／ｓ）与２７．５（ｍ／ｓ）．随着时间段的细分，自由落体的运动状态确实得到越来越精确的描述．这种做法其实蕴含着“极限”这个朴素而深刻的思想． 先把时间段分割，在越来越小的时间段对运动进行分析，再从 整体上得到对运动状态越来越精确的描述，这就是被称为“微积 分”的数学工具给我们提供的解决问题的途径．本课程只能介绍前 端的工作，即寻找数学工具刻画运动物体在某一时刻的瞬时速 度．这里的瞬时速度指的是，运动物体在临近指定时刻的某个时间 段的平均速度在时间段长度越来越小的变化过程中所趋于的一个 稳定值．下面的例子展现了利用平均速度趋近瞬时速度的过程． 例１ 自由落体运动中，物体下落的距离S（单位：米）与时 间t（单位：秒）近似满足函数关系 试求物体在t＝２时的瞬时速度． 分析 对不同时间段长度值｜h｜，计算t＝２附近时间段 ［２＋h，２］（h＜０）或者［２，２＋h］（h＞０）的平均速度: 得到表５ １． 在表５.１中，我们通过缩小h的绝对值，发现：在h趋近于０ 的过程中，平均速度趋近于一个确定的值２０．因此，我们可以说物 体在t＝２秒时的瞬时速度为２０米／秒． 解 当h≠０时，h＝２附近时间段［２＋h，２］（h＜０）或者 ［２，２＋h］（h＞０）的平均速度是 因为h趋近于０时，v趋近于２０，所以物体在t＝２秒时的瞬时速度为２０ｍ／ｓ． 用瞬时速度的语言，图５-１-１中的高铁速度可解释为：在２２时３６分的某一瞬间（列车信息屏的时间显示只精确到分，但瞬时速度在时间上的精确度远高于分），列车以３０７千米／小时的瞬时速度前进． 例１告诉我们，研究运动物体的瞬时速度，就是在已知函数关 系y＝f（x）的前提下，对于自变量某个给定值x0，给x0一个变化量h，分析当h趋近于０时，函数值的变化量f（x0＋h）－ f（x0）相对于自变量的比值 是否趋近于某个稳定值. 如果这个稳定值存在，就说明 在h趋近于 ０时有极限，并把这个稳定值记作 称为函数y＝f（x）在x＝x０处的导数（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），记作f′（x０），即 因此，在满足函数关系S＝S（t）的运动中，函数S（t）在t＝t０处的导