7.3常用分布（第1课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第7章 概率初步（续） ７.３常用分布（第1课时） 1 ７．３ 常用分布 １ 二项分布 考虑如下问题：一次测验共有１０道选择题，每题备有４个选项，其中只有１个正确．如果某学生随意猜测答题，问其答对一半以上的概率有多大．这样的概率计算具有普遍性，现在就来讨论这种题型的概率计算 从这个角度可以证明二项式定理 这是这个分布被称为二项分布的理由． 定义 独立地重复一个成功概率为p的伯努利试验n次，其成功次数的分布称为二项分布（ｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），亦称成功次数 x 服从二项分布B(n,p) 独立重复伯努利试验是一个非常重要的概率模型，在实际中经常出现． 例１ 独立地重复 n 次成功概率为 p 的伯努利试验，求至少有一次成功的概率 解用 X 表示成功次数．至少有一次成功相当于 X ＞０，它的对立事件是 X ＝０．由概率的性质，至少有一次成功的概率为 直观地说，做一件事情，不管成功概率多小，只要执着 地努力，重复的次数足够多，就有很大可能会成功．如同俗 语所说：失败是成功之母．反过来说，如果不断地重复，小 概率的坏事也终有可能发生．例如，开车一次发生事故的概 率p很小，但是如果每天开车，长期下去还是很有可能发生 事故的．所以，不仅每次开车都要格外小心，减小事故发生 的概率p，而且要尽可能地减少开车次数n，这样就能使发生 事故的概率尽量减小 解 用X k 表示第k次随机试验的结果：若成功，则 X k ＝１； 若失败，则X k＝０．总的成功次数 X 可以表示为 按照定义，X K 的期望是 所以，由期望的线性性质，得 用同样的方法可以计算X 的方差．先计算D［X１］．因为 所以 例２ 设X 服从二项分布B（n，p），求X 的期望与方差． 因为每次试验是独立地重复，所以X１，X２，…，X n 是相互独立的，且D［X k］＝P（１－P），K＝１，２，…，n．由方差的性质，有 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习７．３（１） １．已知随机变量X 服从二项分布B（n，P），若E［X］＝３０， D［X］＝２０，求p的值． ２．一批产品的二等品率为０．３．从这批产品中每次随机取一件，并有放回地抽取２０次．用X 表示抽到二等品的件数，求D［X］． 随堂检测 宋老师数学精品工作室 解： 1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数. (1) 求X的分布； (2) E(X)＝_______，D(X)＝_________. 2 1 解： 2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： (1) 没有鸡感染病毒的概率；(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率. 3.判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X～B(12， 0.25)； (2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y～B(6，0.1). 解： 每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X～B(12，0.25). (1) 正确. 理由如下： 每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. (2)错误. 理由如下： 所以X的分布为 解： 5.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求: (1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2) 其中恰有3次击中目标的概率； (3) 其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 故P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)， P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,9)， 4．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用X表示甲队的总得分，求随机变量X的分布 解　由题意知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3