专题09 三角函数与三角恒等变换（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题 09 三角函数与三角恒等变换（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 3．（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题. 2 .三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，研究三角函数的最值、范围问题. 3.三角函数、三角恒等变换等，考查方式有两种，即独立考查与综合考查，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 三角恒等变换 【核心知识】 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 3．两角和与差的三角函数公式 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. （2）变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； . （3）辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) . 4．二倍角公式 （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. （2）变形公式： cos2α＝，sin2α＝ 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【典例分析】 典例1.（2021·全国·高考真题（文））若，则（    ） A． B． C． D． 典例2.（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________． 典例3.（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______． 【规律方法】 1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 考向二 三角函数的图象与解析式 【核心知识】 【典例分析】 典例4.（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 典例5. （2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 2.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一