13.5.2线段垂直平分线 课件2022-2023学年华东师大版八年级数学上册

13.5.2 线段垂直平分线 第13章 全等三角形 学习目标： 1.线段垂直平分线的性质。 2.线段垂直平分线的判定。 3.线段垂直平分线性质和判定的应用。 城南中学数学组 在某高速公路l的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么? 情景导入 l 生活中的数学 公 路 B A 这要用到垂直平分线的知识.怎么用呢？ 城南中学数学组 获取新知 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？ M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 你能给出PA=PB的证明吗？ 城南中学数学组 教师与学生一起证明这个定理,并为后面过度到它的逆命题的提出及证明做好了铺垫。 Lenovo (L) - 首先提出问题,让学生回答,通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理 下面我们来证明刚才得到的结论： 段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. M N P A C B 已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB. 证明： ∵MN ⊥AB（已知）, ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∵ ∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). AC=BC, ∠ACP=∠BCP, PC=PC, 城南中学数学组 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 作用：可用来证明两线段相等。 M N P A C B l 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端的距离相等。 几何语言： ∵ l ⊥ AB，AC＝BC ∴ AP＝BP. 是三角形全等思路的简化升级版 例题 城南中学数学组 探究：线段垂直平分线的判定 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 线段垂直平分线的性质定理， 条件和结论反过来会有什么结果呢？ 这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 城南中学数学组 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析： 思路1：作垂线，证中点； 思路2：作中线，证垂直 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， ∴∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA 和Rt△QCB中， QA=QB QC=QC ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）. ∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 你能写出后一种添加辅助线的证明过程吗？ 城南中学数学组 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 条件：点到线段两端距离相等； 结论：点在线段垂直平分线上． 几何语言：∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 作用：①作线段的垂直平分线的依据； ②可用来证线段垂直、相等． 线段垂直平分线的判定定理： 拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心． P A B 城南中学数学组 点拨：三线交于一点，只需证明第三条经过另外两条的交点思路可表示如下： l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 OA=OB OB=OC OA=OC 点O在AC的垂直平分线上 B C A O l n m 试试看，你会写出证明过程吗？ 你能给出三角形三边的垂直平分线交于一点的证明吗？ 城南中学数学组 证明：连接OA，OB，OC. ∵点O在AB，AC的垂直平分线上， ∴OA=OB，OA=OC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. ∴OB=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. B C A O l n m 已知：在△ABC中，直线l，m，n是三角形的三条垂直平分线； 求证：直线l，m，n交于一点O 例题 城南中学数学组 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线D