专题08 极值点偏移问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题08 极值点偏移问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 2.（2022·全国·高考真题（理））已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 2.对于某些涉及函数零点的不等式证明问题，有时可以根据极值点的情况，采取特定处理方式，老师们称为“极值点偏移问题”.所谓极值点偏移是指：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 结论x1＋x2>2x0型不等式证明问题 【核心知识】 对称化构造法：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)． 【典例分析】 典例1.【多选题】（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练习）已知关于的方程有两个不等的正根，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 典例2.（2021·辽宁丹东·高三阶段练习）已知，， (1)若恒成立，求的最大值 (2)若，是的两个零点，且求证： 典例3.（2021·全国·高三专题练习）已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值； （2）当时，设函数的两个零点为，试证明：． 典例4.（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，． （1）求的取值范围； （2）求证：． 【规律方法】 对称法解决极值点偏移的基本原理是利用函数的单调性，把要证明的 （ 是极值点）转化为证明 ，再转化为 ，又根据 ，可以转化为证明 ，而  是固定的， 是变量，这样就把一个双变量不等式转化为了单变量不等式，从而以 为未知量来构造函数证明不等式即可. 考向二 结论型不等式证明问题 【核心知识】 对称化构造法：对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式. 【典例分析】 典例5.（2021·全国·高三阶段练习（理））有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想． (1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点； (2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底， 典例5. （2022·广东深圳·高二期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线. (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：. 典例6.（2021·全国·高三专题练习）已知函数 （1）若时，恒成立，求的取值范围； （2）求证且； （3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证 考向三 双变量不等式不等式证明问题 【核心知识】 比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【典例分析】 典例7.（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（文））已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数． （1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值； （2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小； （3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2． 典例8.（2022·全国·高二专题练习）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上有两个极值点、． ①求实数的取值范围； ②求证：． 典例9. （2021·江苏·高二专题练习）已知函数，. (1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值； (2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，. （i）求实数a的取值范围； （ii）当时，证明：. 典例10.（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数，． (1)讨论极值点的个数． (2)若有两个极值点，，且，证明：． 典例11.（2023·全国·高三专题练习）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：. 典例12. 已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一篇 热点、难点突破篇 专题