知识必备01 实数（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年中考数学必背知识手册

知识必备01 数与式（公式、定理、结论图表） 考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类 实数可以按照下面的方法分类： 实数还可以按照下面的方法分类： 典例1：实数，，，，中，无理数的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； （3）根式型：…都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 【答案】A； 【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，，都是无限不循环小数， 故共有2个无理数. 【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含的数；③看似循环但实际不循环的小数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系． 3．相反数 实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零． 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 4．绝对值 一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即 如果a＞0，那么|a|＝a； 如果a＜0，那么|a|＝-a； 如果a＝0，那么|a|＝0． 典例2：阅读下面的材料，回答问题： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1，；当A、B两点都不在原点时： （1）如图1-2，点A、B都在原点的右边，； O（A） 0 b B 图1-1 O 0 b B 图1-2 a A （2）如图1-3，点A、B都在原点的左边， ； （3）如图1-4，点A、B在原点的两边，． B b a A 图1-3 O 0 B b a A 图1-4 O 0 综上，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果，那么x= ． 【答案】（1）3，3，4；（2）或． 依据阅读材料，所获得的结论为，结合各问题分别代入求解． （1）；（2）； 因为，所以，所以或．所以或． 5．实数大小的比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． （2）正数都大于0；负数都小于0，两个负数绝对值大的那个负数反而小. （3）对于实数 常用方法：①数轴图示法；②作差法；③作商法；④平方法等. 6．有理数的运算 运算律： 加法交换律 a+b＝b+a； 加法结合律 (a+b)+c＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab＝ba； 乘法结合律 (ab)c＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac． (3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减． 算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 典例3：； 【答案】 ． 7．平方根 如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)． 8．算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零． 9．近似数及有效数字 近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法 把一个数记成±a×的形式(其中n是整数，a是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数． 考点二、二次根式、分式的相关概念、性质 1．二次根式的概念 形如(a≥