1.4 数学归纳法-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

*1.4　数学归纳法 第1章　数列 课程标准：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 教学重点：数学归纳法及其应用． 教学难点：对数学归纳法原理的理解． 核心素养：通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展逻辑推理素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE n＝k＋1 1．数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N＋，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真，…，P(k)真，P(k＋1)真，….从而完成证明． 2．应用数学归纳法时应注意的问题 (1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. (2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的关键． (3)“假设n＝k时命题成立．利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步就可以．(　　) (2)在用数学归纳法时，第二步必须利用归纳假设．(　　) (3)一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性结论：对于任意n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是数学归纳法．(　　) (4)用数学归纳法证明命题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　) × √ × × 答案 (3)用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________. 答案　1×4 答案 2 核心素养形成 PART TWO 证明 题型一 利用数学归纳法证明恒等式 证明 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． 证明 证明 例2　证明：2n＋2>n2，n∈N＋. [证明]　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． 因此当n＝1,2,3时，不等式成立． ②假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式2k＋2>k2成立． 当n＝k＋1时， 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)，由于k≥3，则k－3≥0，k＋1>0，所以(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 证明 题型二 利用数学归纳法证明不等式 所以2k＋1＋2>(k＋1)2. 故当n＝k＋1时，原不等式也成立． 由①②，知原不等式对于任何n∈N＋都成立． 证明 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程． 证明 证明 例3　求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [证明]　①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． ②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 当n＝k＋1时， x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由①②可知，对任意的正