1.3.1 等比数列及其通项公式-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

1．3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 第1章　数列 课程标准：通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 教学重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 教学难点：等比数列通项公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习等比数列的概念及判断方法，提升数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过运用等比数列的通项公式求项、公比或项数，提升数学运算素养． 1 核心概念掌握 PART ONE 同一个 公比 G ab 1．有关等比数列的定义应注意的问题 (1)注意定义中“从第2项起”这一条件的两层含义．其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商． (2)注意定义中“每一项与它的前一项之比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序，即后面的项比前面的项；其二，强调这两项必须相邻． (3)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列． √ × × √ 4 ±3 2 核心素养形成 PART TWO 例1　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解 题型一 等比数列的通项公式及应用 解 解 等比数列通项公式的求法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 解 [跟踪训练1]　(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an. 解 答案 解析 题型二 等比中项及其应用 (2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________. 答案 解析 涉及到等比数列中三项问题，我们一般都考虑使用等比中项来确定各项之间的关系． 答案 解析 例3　(1)观察下面几个数列： ①1,1,2,4,8,16,32,64； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④在数列{an}中，＝q，其中n∈N＋. 其中是等比数列的是________.(只填序号) 题型三 等比数列的判定与证明 [解析]　①不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②不一定是等比数列，当数列{an}只有3项时，数列{an}是等比数列，当数列{an}的项数超过3项时，不一定符合等比数列的定义；③不一定是等比数列，当a＝0时，它不是等比数列，当a≠0时，它是等比数列；④是等比数列． [答案]　④ 答案 解析 (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.证明：数列{an＋1}是等比数列． 证明 解 [变式探究]　本例(2)中若将“an＋1＝2an＋1”改为“an＋1＝2Sn＋1”(其中Sn为数列{an}的前n项和)，其他条件不变，试判断数列{an}是否为等比数列？ 解　∵an＋1＝2Sn＋1，∴an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)， 又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，∴a2＝3a1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列． [跟踪训练3]　(1)设数列{an}为等比数列，q为公比，则下面四个数列： ①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}． 其中是等比数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 解析 解 解 例4　为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2021年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2022年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%(最终结果精确到整数，参考数据：lg 2≈0.3)? 解 题型四 等比数列的实际应用 解 所以n≥5， 所以至少经过5－1＝4年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%. 解 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 解析　由等比数列的定义，知①②④是等比数列；③中当x＝0时，不是等比数列． 答案 解析 2．在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于(　　) A．±4 B．4 C．－4 D．16 答案 解析 3．(多选